Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
(d) integral arctan x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente precisa expressar essa integral como uma série de potências centrada em zero. Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que nos permite escrever funções como somas infinitas de potências de . Precisamos lembrar que vamos integrar a função , então vamos precisar saber a expansão em série de e adaptar para o caso de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função arctan(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1 centrada em zero. Sabemos que:
Essa série é válida para . Agora, como queremos a série de , vamos substituir por na série acima.

Passo 3

Fazendo a substituição, temos:
arctan(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n (x^2)^2n+12n+1 = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+22n+1
Então, agora a nossa função dentro da integral está escrita como uma série de potências.

Passo 4

Agora, vamos integrar term por termo a série que encontramos. A integral de uma soma é a soma das integrais, então:
integral arctan(x^2) , dx = integral ( sumn=0^infty (-1)^n x^4n+22n+1 ) dx = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 integral x^4n+2 , dx

Passo 5

Vamos calcular a integral integral x^k , dx = x^k+1k+1 + C . Sabemos que:
integral x^4n+2 , dx = x^4n+34n+3 + C
Onde . Então:

Passo 6

Substituindo de volta na nossa série, temos:
sumn=0^infty (-1)^n2n+1 cdot x^4n+34n+3 + C = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+3(2n+1)(4n+3) + C
Essa é a expressão da integral como uma série de potências centrada em zero.

Resposta

A integral integral arctan(x^2) , dx = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+3(2n+1)(4n+3) + C expressa como uma série de potências centrada em zero é:
onde é a constante de integração.

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