Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente precisa expressar essa integral como uma série de potências centrada em zero. Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que nos permite escrever funções como somas infinitas de potências de
. Precisamos lembrar que vamos integrar a função
, então vamos precisar saber a expansão em série de
e adaptar para o caso de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função
centrada em zero. Sabemos que:
Essa série é válida para
. Agora, como queremos a série de
, vamos substituir
por
na série acima.
Passo 3
Fazendo a substituição, temos:
Então, agora a nossa função dentro da integral está escrita como uma série de potências.
Passo 4
Agora, vamos integrar term por termo a série que encontramos. A integral de uma soma é a soma das integrais, então:
Passo 5
Vamos calcular a integral
. Sabemos que:
Onde
. Então:
Passo 6
Substituindo de volta na nossa série, temos:
Essa é a expressão da integral como uma série de potências centrada em zero.
Resposta
A integral
expressa como uma série de potências centrada em zero é:
onde
é a constante de integração.