Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências . Isso significa que queremos saber para quais valores de essa série vai “funcionar”, ou seja, vai somar para um número finito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a verificar a convergência de séries envolvendo potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , se o limite for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, a série diverge. Se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Aplicando isso à nossa série:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | (1 + 1n)^3 cdot x | = |x| cdot limn to infty (1 + 1n)^3 = |x| cdot 1 = |x|
Vamos calcular a razão :
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Passo 3
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
|x| < 1
Isso nos dá o intervalo de convergência. Ou seja, a série converge para todos os (-1, 1) tais que está entre -1 e 1. Então, o intervalo é:
O raio de convergência é o valor que multiplica na desigualdade , onde é o raio. Aqui, .
Resposta
A série sumn=1^+infty n^3 x^n converge para todos os valores de no intervalo e tem raio de convergência igual a 1.