Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
© sumn=1^+infty n^3 x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências sumn=1^+infty n^3 x^n. Isso significa que queremos saber para quais valores de essa série vai “funcionar”, ou seja, vai somar para um número finito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a verificar a convergência de séries envolvendo potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série an = n^3 x^n , se o limite an+1an = (n+1)^3 x^n+1n^3 x^n = ( n+1n )^3 cdot x = (1 + 1n)^3 cdot x for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, a série diverge. Se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Aplicando isso à nossa série:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | (1 + 1n)^3 cdot x | = |x| cdot limn to infty (1 + 1n)^3 = |x| cdot 1 = |x|
Vamos calcular a razão :
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 3

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
|x| < 1
Isso nos dá o intervalo de convergência. Ou seja, a série converge para todos os (-1, 1) tais que está entre -1 e 1. Então, o intervalo é:
O raio de convergência é o valor que multiplica na desigualdade , onde é o raio. Aqui, .

Resposta

A série sumn=1^+infty n^3 x^n converge para todos os valores de no intervalo e tem raio de convergência igual a 1.

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Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(s) sumn=1^+infty x^nln (n+1)
Se f for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das
seguintes funções: g(x) = x^2 f(x)
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(u) sumn=0^+infty 4^n+1 x^2 nn+3
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(v) sumn=1^+infty n^n(x-3)^n