Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(u) sumn=0^+infty 4^n+1 x^2 nn+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de potências . Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão (ou Teste do Quociente) que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação do teste. A série é:
sumn=0^+infty 4^n+1 x^2 nn+3
Podemos reescrever sumn=0^+infty 4 cdot 4^n x^2 nn+3 = 4 sumn=0^+infty (4 x^2)^nn+3 como , então temos:
Mas para aplicar o Teste da Razão, vamos trabalhar com os termos gerais originais.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que diz que a série limn to infty | an+1an | < 1 converge se:
an+1an = 4^(n+1)+1 x^2(n+1)(n+1)+3 cdot n+34^n+1 x^2n
Aqui, nosso 4^n+2 x^2n+2n+4 cdot n+34^n+1 x^2n = 4 cdot x^21 cdot n+3n+4 é . Então, vamos calcular :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty | 4 x^2 cdot n+3n+4 | = 4 x^2 cdot limn to infty n+3n+4 = 4 x^2 cdot 1 = 4 x^2 tende ao infinito:
4 x^2 < 1
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:

Passo 5

Resolvendo a desigualdade x^2 < 14 implies |x| < 12 :
Isso significa que a série converge para todos os cujo valor absoluto é menor que .

Passo 6

O raio de convergência -12 < x < 12 é o valor que multiplica na desigualdade . Aqui, .
O intervalo de convergência é o conjunto de valores de para os quais a série converge, ou seja:

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
© sumn=1^+infty n^3 x^n
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(s) sumn=1^+infty x^nln (n+1)
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(v) sumn=1^+infty n^n(x-3)^n
Calcule as derivadas a seguir Y = Cos(1 - x^2)