Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(v) sumn=1^+infty n^n(x-3)^n

Passo 1

Vamos resumir o enunciado. Temos a série de potências . Nosso objetivo é encontrar o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma forma eficiente de determinar a convergência de séries desse tipo.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o Teste da Raiz. Esse teste diz que a série limn to infty raiz[n]|an| < 1 converge se:
No nosso caso, . Vamos calcular esse limite.

Passo 3

Calculamos a raiz n-ésima do termo geral da série:
raiz[n]|an| = raiz[n]n^n(x-3)^n = n cdot |x-3|

Passo 4

Agora, analisamos o limite à medida que limn to infty n cdot |x-3| tende para o infinito:
Se , então tende para infinito, ou seja, o limite é maior que 1. Isso significa que a série não converge para esses valores de .

Passo 5

A única situação em que o limite é menor que 1 é quando x - 3 = 0 implies x = 3 . Isso ocorre quando:

Resposta

O raio de convergência é 0 e o intervalo de convergência é apenas o ponto .

Exercícios relacionados

Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(u) sumn=0^+infty 4^n+1 x^2 nn+3
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
© sumn=1^+infty n^3 x^n
Calcule as derivadas a seguir Y = Cos(1 - x^2)
Se f(2) = 2 e f'(2) = 4 então calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de h(x) = (4 x^3 - 3 x^2) / f(x) em 2,10.