Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(v)
(v)
Passo 1
Vamos resumir o enunciado. Temos a série de potências
. Nosso objetivo é encontrar o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma forma eficiente de determinar a convergência de séries desse tipo.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o Teste da Raiz. Esse teste diz que a série
converge se:
No nosso caso,
. Vamos calcular esse limite.
Passo 3
Calculamos a raiz n-ésima do termo geral da série:
Passo 4
Agora, analisamos o limite à medida que
tende para o infinito:
Se
, então
tende para infinito, ou seja, o limite é maior que 1. Isso significa que a série não converge para esses valores de
.
Passo 5
A única situação em que o limite é menor que 1 é quando
. Isso ocorre quando:
Resposta
O raio de convergência é 0 e o intervalo de convergência é apenas o ponto
.
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(u)
(u)
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
©
©
Calcule as derivadas a seguir
Se
e
então calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
.