Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(s)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente descobrir o intervalo e o raio de convergência da série de potências . A matéria envolvida aqui é séries de potências e testes de convergência. Vamos precisar usar o Teste da Razão para achar o raio de convergência e depois analisar os extremos desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências tem a forma geral . No nosso caso, o termo geral é . Para encontrar o raio de convergência (), vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica para determinar onde a série converge.
Passo 3
O Teste da Razão diz que a série converge se . Vamos aplicar isso na nossa série:
limn to infty | 1ln(n+2) x^n+11ln(n+1) x^n | = limn to infty | ln(n+1)ln(n+2) cdot x |
Passo 4
Simplificando o limite:
limn to infty | ln(n+1)ln(n+2) cdot x | = |x| cdot limn to infty ln(n+1)ln(n+2)
Sabemos que limn to infty ln(n+1)ln(n+2) = 1, então o limite fica:
|x| cdot 1 = |x|
Passo 5
Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que |x| < 1. Isso significa que o raio de convergência é R = 1.
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabendo que R = 1, o intervalo potencial é -1 < x < 1. Mas precisamos verificar os extremos, ou seja, x = -1 e x = 1.
Passo 7
Para x = 1, a série fica:
sumn=1^+infty 1ln(n+1)
Esse é um caso da série harmônica modificada, que sabemos que diverge, porque o denominador cresce muito lentamente.
Para x = -1, a série fica:
sumn=1^+infty (-1)^nln(n+1)
Aqui, temos uma série alternada. Usando o Teste da Série Alternada, verificamos que os termos 1ln(n+1) são decrescentes e tendem a zero. Portanto, a série converge condicionalmente para x = -1.
Resposta
O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é -1 <= x < 1.