Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(g)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa descobrir qual é o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências . Vamos usar o teste da razão, que é uma técnica legal para este tipo de problema. Esse teste vai nos ajudar a ver para quais valores de a série vai “funcionar” e convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como aplicar o teste da razão. A ideia é calcular o limite:
onde . Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não nos dá informação.
Passo 3
Vamos calcular an+1an = (n+1)!x^n+1n!x^n = (n+1) cdot x :
| an+1an | = |n+1||x| = (n+1)|x|
Simplificando, ficamos com:
Passo 4
Agora, aplicamos o limite para L = limn to infty (n+1)|x| = limn to infty n|x| tendendo ao infinito:
Se , esse limite vai para infinito, ou seja, . Isso significa que, para qualquer , a série diverge.
Passo 5
A única situação onde é quando . Nesse caso, a série é simplesmente , que obviamente converge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é apenas .