Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(q)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências: . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, não dá um resultado infinito, e também encontrar o raio de convergência, que é a distância em torno do ponto central da série onde ela converge.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que uma série de potências tem a forma geral , onde é o centro da série. No nosso caso, o centro é , já que temos .
Passo 3
Para encontrar o intervalo e o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar onde a série converge. Esse teste diz que, para a série , se o limite existir, então a série converge se e diverge se . Se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identificamos an+1 = (-1)^(n+1)+1 (x-1)^n+1n+1 = (-1)^n+2 (x-1)^n+1n+1 . Agora, calculamos :
Agora, tiramos o limite quando L = limn to infty nn+1 |x - 1| = 1 cdot |x - 1| = |x - 1| vai para infinito:
Passo 7
De acordo com o Teste da Razão, a série converge quando |x - 1| < 1 :
Isso significa que deve estar a menos de 1 unidade de distância de 1.
Passo 8
Agora, o raio de convergência é simplesmente o valor que está multiplicando na desigualdade . Aqui, .
Passo 9
Para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos a desigualdade -1 < x - 1 < 1 implies 0 < x < 2 :
Passo 10
Porém, precisamos verificar os pontos finais sumn=1^+infty (-1)^n+1 (0-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^n+1 (-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^2n+1n = -sumn=1^+infty 1n e sumn=1^+infty (-1)^n+1 (2-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^n+1 1n , já que o Teste da Razão não nos diz sobre a convergência nesses pontos.
Para :
Isso é a série harmônica, que diverge.
Para :
Essa é a série alternada harmônica, que converge.
Resposta
A série converge para todo no intervalo e o raio de convergência é .