Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(q) sumn=1^+infty(-1)^n+1 (x-1)^nn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências: sumn=1^+infty(-1)^n+1 (x-1)^nn. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, não dá um resultado infinito, e também encontrar o raio de convergência, que é a distância em torno do ponto central da série onde ela converge.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que uma série de potências tem a forma geral , onde é o centro da série. No nosso caso, o centro é , já que temos .

Passo 3

Para encontrar o intervalo e o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar onde a série converge. Esse teste diz que, para a série , se o limite existir, então a série converge se e diverge se . Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identificamos an+1 = (-1)^(n+1)+1 (x-1)^n+1n+1 = (-1)^n+2 (x-1)^n+1n+1 . Agora, calculamos :

Passo 5

Agora, calculamos a razão | an+1an | = | (-1)^n+2 (x-1)^n+1n+1(-1)^n+1 (x-1)^nn | = | (x-1)^n+1n+1 cdot n(x-1)^n | = | nn+1 (x-1) | :

Passo 6

Simplificando, temos:
| an+1an | = nn+1 |x - 1|
Agora, tiramos o limite quando L = limn to infty nn+1 |x - 1| = 1 cdot |x - 1| = |x - 1| vai para infinito:

Passo 7

De acordo com o Teste da Razão, a série converge quando |x - 1| < 1 :
Isso significa que deve estar a menos de 1 unidade de distância de 1.

Passo 8

Agora, o raio de convergência é simplesmente o valor que está multiplicando na desigualdade . Aqui, .

Passo 9

Para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos a desigualdade -1 < x - 1 < 1 implies 0 < x < 2 :

Passo 10

Porém, precisamos verificar os pontos finais sumn=1^+infty (-1)^n+1 (0-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^n+1 (-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^2n+1n = -sumn=1^+infty 1n e sumn=1^+infty (-1)^n+1 (2-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^n+1 1n , já que o Teste da Razão não nos diz sobre a convergência nesses pontos.
  • Para :
Isso é a série harmônica, que diverge.
  • Para :
Essa é a série alternada harmônica, que converge.

Resposta

A série converge para todo no intervalo e o raio de convergência é .

Exercícios relacionados

Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(g) sumn=0^+infty n!x^n
Discuta a continuidade das funções abaixo:
a) f(x, y) = { x^2 + y^2 se x^2 + y^2 <= 1, 0 se x^2 + y^2 > 1 }
Para cada afirmação dada a seguir, determine se ela é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. ( ) Se lim x a f(x)=infty, então f(a) não está definido.