Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(e) sumn=1^+infty (-1)^n-1(x-2)^nraiz3 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de potências:
sumn=1^+infty (-1)^n-1(x-2)^nraiz3 n
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo termos como (x - a)^n, onde a é o centro da série. Para descobrir onde essa série converge (ou seja, dá um resultado finito) e qual é o raio dessa região de convergência, vamos usar o Critério da Razão, que é uma técnica matemática para analisar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Critério da Razão. Esse critério nos diz que para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, o termo geral da série é:
an = (-1)^n-1(x-2)^nraiz3 n
Vamos calcular | an+1an |:
Os sinais alternados e o 3 vão se cancelar quando tomarmos o valor absoluto:
| an+1an | = | (-1)^n(x-2)^n+1/raiz3(n+1)(-1)^n-1(x-2)^n/raiz3n | = | (-1)^n (x-2)^n+1 raiz3n(-1)^n-1 (x-2)^n raiz3(n+1) |

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty |x-2| cdot raiznn+1
Observemos que:
limn to infty raiznn+1 = raizlimn to infty nn+1 = raiz1 = 1
Portanto, o limite fica:
L = |x-2| cdot 1 = |x-2|

Passo 4

Para a série convergir, precisamos que L < 1:
|x-2| < 1
Isso significa que:
-1 < x - 2 < 1
Adicionando 2 em todos os lados da desigualdade:
1 < x < 3
Então, o intervalo de convergência é de x = 1 até x = 3.

Passo 5

O raio de convergência é metade da largura do intervalo de convergência. Aqui, a largura é 3 - 1 = 2, então o raio é:
R = 22 = 1

Resposta

Intervalo de convergência: 1 < x < 3
Raio de convergência: R = 1

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Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(t) sumn=1^+infty (x+5)^n-1n^2
Fazer os gráficos das funções simples abaixo, ressaltando as mudanças de escala e translação:
f(x) = -2(x - 1)²
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(g) sumn=0^+infty n!x^n