Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de potências:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo termos como , onde é o centro da série. Para descobrir onde essa série converge (ou seja, dá um resultado finito) e qual é o raio dessa região de convergência, vamos usar o Critério da Razão, que é uma técnica matemática para analisar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Critério da Razão. Esse critério nos diz que para uma série , calculamos o limite:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, o termo geral da série é:
an = (-1)^n-1(x-2)^nraiz3 n
Vamos calcular | an+1an |:
Os sinais alternados e o 3 vão se cancelar quando tomarmos o valor absoluto: