Discuta a continuidade das funções abaixo:
a) f(x, y) = { x^2 + y^2 se x^2 + y^2 <= 1, 0 se x^2 + y^2 > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para discutir a continuidade da função definida por:
Então, a gente vai falar sobre continuidade de funções de duas variáveis. A continuidade basicamente significa que não tem “saltos” ou “quebras” no gráfico da função. Para analisar isso, vamos precisar entender a definição de continuidade e verificar se a função segue essa definição em todos os pontos do seu domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade para funções de duas variáveis. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, pra verificar a continuidade da função , precisamos analisar se essa condição é satisfeita em todos os pontos do plano.

Passo 3

Vamos observar a definição da função . Ela tem duas partes:
  1. Dentro ou na circunferência de raio 1 ( ): Aqui, .
  2. Fora da circunferência de raio 1 ( ): Aqui, .
Essa divisão sugere que a função pode ter comportamentos diferentes dependendo de onde estamos no plano.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar a continuidade dentro da circunferência ( ) e fora dela ( ).
  • Dentro da circunferência: é uma função polinomial, que sabemos ser contínua em todo o seu domínio.
  • Fora da circunferência: também é uma função constante, que é contínua em todo o espaço.
Então, a função é contínua em todas as regiões separadas onde está definida.

Passo 5

Agora, o ponto crítico é na circunferência de raio 1 ( ), onde a definição da função muda. Precisamos verificar se a função é contínua nesse limite.
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de um ponto na circunferência ( ).
  • Abordando pelo interior ( ):
  • Abordando pelo exterior ( ):
Agora, comparando com o valor da função na circunferência:
Como , temos .

Passo 6

Observamos que o limite pela parte interna é 1, enquanto o limite pela parte externa é 0. Para a função ser contínua no ponto da circunferência, todos os limites devem ser iguais e iguais ao valor da função no ponto.
Neste caso, como os limites laterais são diferentes (1 e 0), a condição de continuidade não é satisfeita na circunferência.

Resposta

A função é contínua em todo o plano, exceto na circunferência , onde ocorre uma descontinuidade.

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