Discuta a continuidade das funções abaixo:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para discutir a continuidade da função
definida por:
Então, a gente vai falar sobre continuidade de funções de duas variáveis. A continuidade basicamente significa que não tem “saltos” ou “quebras” no gráfico da função. Para analisar isso, vamos precisar entender a definição de continuidade e verificar se a função
segue essa definição em todos os pontos do seu domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade para funções de duas variáveis. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, pra verificar a continuidade da função
, precisamos analisar se essa condição é satisfeita em todos os pontos do plano.
Passo 3
Vamos observar a definição da função
. Ela tem duas partes:
-
Dentro ou na circunferência de raio 1 (
): Aqui, . -
Fora da circunferência de raio 1 (
): Aqui, .
Essa divisão sugere que a função pode ter comportamentos diferentes dependendo de onde estamos no plano.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar a continuidade dentro da circunferência (
) e fora dela (
).
-
Dentro da circunferência:
é uma função polinomial, que sabemos ser contínua em todo o seu domínio. -
Fora da circunferência:
também é uma função constante, que é contínua em todo o espaço.
Então, a função
é contínua em todas as regiões separadas onde está definida.
Passo 5
Agora, o ponto crítico é na circunferência de raio 1 (
), onde a definição da função muda. Precisamos verificar se a função é contínua nesse limite.
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de um ponto
na circunferência (
).
-
Abordando pelo interior (
): -
Abordando pelo exterior (
):
Agora, comparando com o valor da função na circunferência:
Como
, temos
.
Passo 6
Observamos que o limite pela parte interna é 1, enquanto o limite pela parte externa é 0. Para a função ser contínua no ponto
da circunferência, todos os limites devem ser iguais e iguais ao valor da função no ponto.
Neste caso, como os limites laterais são diferentes (1 e 0), a condição de continuidade não é satisfeita na circunferência.
Resposta
A função
é contínua em todo o plano, exceto na circunferência
, onde ocorre uma descontinuidade.
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Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(q)
(q)
Para cada afirmação dada a seguir, determine se ela é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. ( ) Se
, então
não está definido.
Suponha que f e g sejam funções contínuas, tais que
e
. Encontre: