Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências:
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas onde cada termo tem a forma de uma potência de . Para encontrar onde essa série converge, vamos precisar usar o Teste da Razão ou outro método de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Observe que pode ser reescrito como:
Então, nossa série fica:
Agora, focaremos na série:
Passo 3
Para determinar o raio de convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a encontrar o valor de onde:
E a série converge se L < 1.
Passo 4
Vamos identificar an na nossa série:
an = (x+5)^nn^2
Agora, calculamos an+1:
an+1 = (x+5)^n+1(n+1)^2
Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (x+5)^n+1/(n+1)^2(x+5)^n/n^2 |
Simplificando:
L = limn to infty | (x+5) cdot n^2(n+1)^2 | = |x+5| cdot limn to infty ( nn+1 )^2
Sabemos que:
limn to infty ( nn+1 )^2 = 1
Então:
L = |x+5|
Passo 5
Para que a série converja, precisamos que L < 1:
|x+5| < 1
Isso significa que:
-1 < x + 5 < 1
Subtraindo 5 em todos os lados:
-6 < x < -4
Passo 6
O raio de convergênciaR é a metade do intervalo de convergência. Já que a largura do intervalo -6 < x < -4 é 2, então:
R = 1
Resposta
O intervalo de convergência da série é -6 < x < -4 e o raio de convergência é 1.