Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências seguinte:
Isso envolve estudar a convergência de séries de potências, e para isso vamos precisar usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, além de entender conceitos como raio de convergência e intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência da série. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é útil para séries de potências. A fórmula geral do teste é:
onde é o coeficiente geral da série.

Passo 3

Identificando na nossa série:
Como vamos considerar apenas o valor absoluto para o teste, temos:

Passo 4

Aplicando o Teste da Raiz:
Sabemos que:
Portanto:
Assim, o raio de convergência é:

Passo 5

Agora que temos o raio de convergência , sabemos que a série converge para valores de tais que . Para encontrar o intervalo de convergência, precisamos verificar o comportamento da série nos pontos extremos e .

Passo 6

Para :
A série se torna:
Essa é uma série alternada. Pelo Teste da Série Alternada, se os termos diminuem em módulo e tendem a zero, a série converge.
  • é positiva, decrescente e tende a zero quando .
  • Portanto, a série converge por esse teste.
Para :
A série se torna:
Simplificando:
Essa é uma série p, onde e um fator extra . Sabemos que:
converge se . No nosso caso, , então a série converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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