Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências seguinte:
Isso envolve estudar a convergência de séries de potências, e para isso vamos precisar usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, além de entender conceitos como raio de convergência e intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência da série. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é útil para séries de potências. A fórmula geral do teste é:
onde
é o coeficiente geral da série.
Passo 3
Identificando
na nossa série:
Como vamos considerar apenas o valor absoluto para o teste, temos:
Passo 4
Aplicando o Teste da Raiz:
Sabemos que:
Portanto:
Assim, o raio de convergência é:
Passo 5
Agora que temos o raio de convergência
, sabemos que a série converge para valores de
tais que
. Para encontrar o intervalo de convergência, precisamos verificar o comportamento da série nos pontos extremos
e
.
Passo 6
Para
:
A série se torna:
A série se torna:
Essa é uma série alternada. Pelo Teste da Série Alternada, se os termos diminuem em módulo e tendem a zero, a série converge.
-
é positiva, decrescente e tende a zero quando . - Portanto, a série converge por esse teste.
Para
:
A série se torna:
A série se torna:
Simplificando:
Essa é uma série p, onde
e um fator extra
. Sabemos que:
converge se
. No nosso caso,
, então a série converge.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
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Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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