Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
sumn=2^+infty(-1)^n+1 x^nn(ln n)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências seguinte:
sumn=2^+infty (-1)^n+1 x^nn (ln n)^2
Isso envolve estudar a convergência de séries de potências, e para isso vamos precisar usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, além de entender conceitos como raio de convergência e intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência da série. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é útil para séries de potências. A fórmula geral do teste é:
R = 1limsupn to infty raiz[n]|an|
onde é o coeficiente geral da série.

Passo 3

Identificando an = (-1)^n+1 1n (ln n)^2 na nossa série:
|an| = 1n (ln n)^2
Como vamos considerar apenas o valor absoluto para o teste, temos:

Passo 4

Aplicando o Teste da Raiz:
limsupn to infty raiz[n]|an| = limsupn to infty raiz[n]1n (ln n)^2 = limsupn to infty 1n^1/n (ln n)^2/n
Sabemos que:
limn to infty n^1/n = 1 e limn to infty (ln n)^2/n = 1
Portanto:
limsupn to infty raiz[n]|an| = 11 times 1 = 1
Assim, o raio de convergência é:
R = 11 = 1

Passo 5

Agora que temos o raio de convergência , sabemos que a série converge para valores de tais que . Para encontrar o intervalo de convergência, precisamos verificar o comportamento da série nos pontos extremos e .

Passo 6

Para sumn=2^+infty (-1)^n+1 1n (ln n)^2 :
A série se torna:
sumn=2^+infty (-1)^n+1 (-1)^nn (ln n)^2 = sumn=2^+infty (-1)^2n+1n (ln n)^2 = sumn=2^+infty -1n (ln n)^2
Essa é uma série alternada. Pelo Teste da Série Alternada, se os termos diminuem em módulo e tendem a zero, a série converge.
  • - sumn=2^+infty 1n (ln n)^2 é positiva, decrescente e tende a zero quando sum 1n (ln n)^p .
  • Portanto, a série converge por esse teste.
Para :
A série se torna:
Simplificando:
Essa é uma série p, onde e um fator extra . Sabemos que:
converge se . No nosso caso, , então a série converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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