Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Estamos lidando com séries infinitas e vamos usar conceitos de convergência de séries para resolver isso. Precisaremos verificar a convergência da série original e também da série dos valores absolutos dos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se converge, então a série original é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Vamos considerar a série dos valores absolutos:
Queremos verificar se essa nova série converge.

Passo 4

Para testar a convergência dessa série sem os sinais alternados, podemos usar o Teste da Série p. Sabemos que a série converge se e diverge se .
No nosso caso, temos . Embora tenha um no numerador, ele cresce mais devagar que qualquer potência de . Então, comparando com a série p, nosso é , que é menor que 1.

Passo 5

Como , a série diverge pelo Teste da Série p. Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 6

Como a série não é absolutamente convergente, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. é decrescente.
  3. .

Passo 7

Aplicando o Teste de Leibniz à nossa série:
  1. Os termos são positivos.
  2. Para verificar se são decrescentes, vemos que conforme aumenta, cresce mais rápido que , fazendo diminuir.
  3. O limite .

Resposta

Como a série não é absolutamente convergente, mas satisfaz o Teste da Série Alternada, ela é condicionalmente convergente.

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