Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso envolve saber sobre séries numéricas e testes de convergência, que são ferramentas matemáticas para entender se uma soma infinita chega a um número definido ou não. Vamos precisar usar o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
Convergente Absolutamente: Se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge.
Convergente Condicionalmente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Divergente: Se a série não converge.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma converge se:
Os termos diminuem de forma monótona.
O limite de quando tende ao infinito é zero.
No nosso caso, .
Passo 4
Primeiro, verificamos se diminui à medida que aumenta. Observamos que cresce, mas cresce muito mais rápido, então realmente diminui com o aumento de .
Passo 5
Agora, calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Isso porque o cresce mais rapidamente que qualquer potência de , fazendo com que o limite seja zero.
Passo 6
Como ambos os critérios do Teste da Série Alternada são atendidos, a série converge.
Passo 7
Agora, para verificar se a convergência é absoluta ou condicional, vamos considerar a série dos valores absolutos:
Passo 8
Vamos aplicar o Teste da Razão para essa série. O Teste da Razão diz que se , a série converge absolutamente.
Calculando:
Como 0 é menor que 1, a série absolutamente converge.