Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso envolve saber sobre séries numéricas e testes de convergência, que são ferramentas matemáticas para entender se uma soma infinita chega a um número definido ou não. Vamos precisar usar o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
- Convergente Absolutamente: Se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge.
- Convergente Condicionalmente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
- Divergente: Se a série não converge.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
diminuem de forma monótona. - O limite de
quando tende ao infinito é zero.
No nosso caso,
.
Passo 4
Primeiro, verificamos se
diminui à medida que
aumenta. Observamos que
cresce, mas
cresce muito mais rápido, então
realmente diminui com o aumento de
.
Passo 5
Agora, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso porque o
cresce mais rapidamente que qualquer potência de
, fazendo com que o limite seja zero.
Passo 6
Como ambos os critérios do Teste da Série Alternada são atendidos, a série
converge.
Passo 7
Agora, para verificar se a convergência é absoluta ou condicional, vamos considerar a série dos valores absolutos:
Passo 8
Vamos aplicar o Teste da Razão para essa série. O Teste da Razão diz que se
, a série converge absolutamente.
Calculando:
Como 0 é menor que 1, a série absolutamente converge.
Resposta
A série é absolutamente convergente.