Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso envolve saber sobre séries numéricas e testes de convergência, que são ferramentas matemáticas para entender se uma soma infinita chega a um número definido ou não. Vamos precisar usar o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergente Absolutamente: Se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge.
  • Convergente Condicionalmente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
  • Divergente: Se a série não converge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos diminuem de forma monótona.
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero.
No nosso caso, .

Passo 4

Primeiro, verificamos se diminui à medida que aumenta. Observamos que cresce, mas cresce muito mais rápido, então realmente diminui com o aumento de .

Passo 5

Agora, calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Isso porque o cresce mais rapidamente que qualquer potência de , fazendo com que o limite seja zero.

Passo 6

Como ambos os critérios do Teste da Série Alternada são atendidos, a série converge.

Passo 7

Agora, para verificar se a convergência é absoluta ou condicional, vamos considerar a série dos valores absolutos:

Passo 8

Vamos aplicar o Teste da Razão para essa série. O Teste da Razão diz que se , a série converge absolutamente.
Calculando:
Como 0 é menor que 1, a série absolutamente converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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