Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada:
Aqui, estamos trabalhando com matemática, mais especificamente com séries de potências e seu comportamento de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como utilizar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série que temos:
Essa é uma série de potências centrada em , ou seja, a expressão está elevada à potência .
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
O Teste da Razão diz que:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos an = (-1)^n+1 (x - 1)^nn :