Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada:
Aqui, estamos trabalhando com matemática, mais especificamente com séries de potências e seu comportamento de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como utilizar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que temos:
Essa é uma série de potências centrada em , ou seja, a expressão está elevada à potência .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
O Teste da Razão diz que:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos :
Então, será:
Agora, calculamos :

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Para que a série convirja, precisamos que :

Passo 6

Essa inequação nos dá o intervalo de convergência:
O raio de convergência é o valor que multiplica a parte absoluta na inequação, que nesse caso é 1.

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .

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Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.