Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
sumn-1^+infty(-1)^n+1 (x-1)^nn

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada:
sumn=1^+infty (-1)^n+1 (x - 1)^nn
Aqui, estamos trabalhando com matemática, mais especificamente com séries de potências e seu comportamento de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como utilizar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que temos:
sumn=1^+infty (-1)^n+1 (x - 1)^nn
Essa é uma série de potências centrada em , ou seja, a expressão está elevada à potência .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de L = limn to infty | an+1an | a série converge.
O Teste da Razão diz que:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos an = (-1)^n+1 (x - 1)^nn :
an+1 = (-1)^(n+1)+1 (x - 1)^n+1n+1 = (-1)^n+2 (x - 1)^n+1n+1
Então, | an+1an | = | (-1)^n+2 (x - 1)^n+1n+1(-1)^n+1 (x - 1)^nn | = | - (x - 1) cdot nn+1 | = |x - 1| cdot nn+1 será:
Agora, calculamos :

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty |x - 1| cdot nn+1 = |x - 1| cdot limn to infty nn+1 = |x - 1| cdot 1 = |x - 1| tende ao infinito:
|x - 1| < 1
Para que a série convirja, precisamos que :

Passo 6

Essa inequação nos dá o intervalo de convergência:
-1 < x - 1 < 1 implies 0 < x < 2
O raio de convergência é o valor que multiplica a parte absoluta na inequação, que nesse caso é 1.

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .

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