Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada:
Aqui, estamos trabalhando com matemática, mais especificamente com séries de potências e seu comportamento de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como utilizar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série que temos:
Essa é uma série de potências centrada em , ou seja, a expressão está elevada à potência .
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
O Teste da Razão diz que:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos :
Então, será:
Agora, calculamos :
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Para que a série convirja, precisamos que :
Passo 6
Essa inequação nos dá o intervalo de convergência:
O raio de convergência é o valor que multiplica a parte absoluta na inequação, que nesse caso é 1.
Resposta
O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .