Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da seguinte série de potências:
Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série de potências. Além disso, precisaremos revisar um pouquinho sobre séries e convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a análise. Note que o índice da potência é , então podemos ajustar isso para começar de :
Agora, temos a série na forma padrão:
onde (o centro da série) e .
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência . O teste diz que:
Calculando isso para nossa série:
Então,
Calculando o limite:
Então, o raio de convergência é .
Passo 4
Com o raio de convergência , sabemos que a série converge para valores de tais que:
Resolvendo essa inequação:
Portanto, o intervalo de convergência é .
Passo 5
Agora, precisamos verificar os pontos finais do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
Quando :
A série se torna:
Esta é uma série alternada que converge pelo Teste da Série Alternada, já que é decrescente e tende a zero.
Quando :
A série se torna:
Esta é a famosa Série com , que converge já que .
Como a série converge em ambos os extremos, incluímos esses pontos no intervalo.
Resposta
O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .