Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da seguinte série de potências:
Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série de potências. Além disso, precisaremos revisar um pouquinho sobre séries e convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a análise. Note que o índice da potência é , então podemos ajustar isso para começar de :
Agora, temos a série na forma padrão:
onde (o centro da série) e .
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência . O teste diz que:
Calculando isso para nossa série:
anan+1 = (n+2)^2(n+1)^2
Então,
R = limn to infty (n+2)^2(n+1)^2 = limn to infty ( n+2n+1 )^2 = ( 11 )^2 = 1
Calculando o limite:
Então, o raio de convergência é .
Passo 4
Com o raio de convergência |x - c| < R Rightarrow |x + 5| < 1 , sabemos que a série converge para valores de -1 < x + 5 < 1 Rightarrow -6 < x < -4 tais que:
Resolvendo essa inequação:
Portanto, o intervalo de convergência é .
Passo 5
Agora, precisamos verificar os pontos finais do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
Quando |x + 5| = |-6 + 5| = 1 :
sumn=1^+infty (-1)^n-1n^2
A série se torna:
|x + 5| = |-4 + 5| = 1
Esta é uma série alternada que converge pelo Teste da Série Alternada, já que sumn=1^+infty 1n^2 é decrescente e tende a zero.
Quando :
A série se torna:
Esta é a famosa Série com , que converge já que .
Como a série converge em ambos os extremos, incluímos esses pontos no intervalo.
Resposta
O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .