Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir: sumn=1^+infty (x+5)^n-1n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^+infty (x+5)^n-1n^2
Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série de potências. Além disso, precisaremos revisar um pouquinho sobre séries e convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a análise. Note que o índice da potência é sumn=1^+infty (x+5)^n-1n^2 = sumn=0^+infty (x+5)^n(n+1)^2 , então podemos ajustar isso para começar de sumn=0^+infty an (x - c)^n :
Agora, temos a série na forma padrão:
onde (o centro da série) e .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência R = limn to infty | anan+1 | . O teste diz que:
an = 1(n+1)^2 e an+1 = 1(n+2)^2
Calculando isso para nossa série:
anan+1 = (n+2)^2(n+1)^2
Então,
R = limn to infty (n+2)^2(n+1)^2 = limn to infty ( n+2n+1 )^2 = ( 11 )^2 = 1
Calculando o limite:
Então, o raio de convergência é .

Passo 4

Com o raio de convergência |x - c| < R Rightarrow |x + 5| < 1 , sabemos que a série converge para valores de -1 < x + 5 < 1 Rightarrow -6 < x < -4 tais que:
Resolvendo essa inequação:
Portanto, o intervalo de convergência é .

Passo 5

Agora, precisamos verificar os pontos finais do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
  1. Quando |x + 5| = |-6 + 5| = 1 :
    sumn=1^+infty (-1)^n-1n^2
    A série se torna:
    |x + 5| = |-4 + 5| = 1
    Esta é uma série alternada que converge pelo Teste da Série Alternada, já que sumn=1^+infty 1n^2 é decrescente e tende a zero.
  2. Quando :
    A série se torna:
    Esta é a famosa Série com , que converge já que .
Como a série converge em ambos os extremos, incluímos esses pontos no intervalo.

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .

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