Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir: sumn=0^+infty(3 x)^2 n

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos descobrir o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada por sumn=0^+infty(3x)^2n. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a análise. Observe que (3x)^2n pode ser reescrito como (9x^2)^n. Assim, a série fica:
sumn=0^+infty(3x)^2n = sumn=0^+infty(9x^2)^n
Isso transforma a série em uma série geométrica com razão r = 9x^2.

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica da forma sumn=0^+inftyr^n converge se, e somente se, o valor absoluto da razão r for menor que 1. Ou seja:
|r| < 1
Aplicando isso à nossa série, temos:
|9x^2| < 1

Passo 4

Agora, vamos resolver a inequação para encontrar os valores de x que satisfazem a condição de convergência:
9x^2 < 1 x^2 < 19 |x| < 13

Resposta

O intervalo de convergência da série é (-13, 13) e o raio de convergência é 13.

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