Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos descobrir o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada por . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a análise. Observe que pode ser reescrito como . Assim, a série fica:
Isso transforma a série em uma série geométrica com razão .

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica da forma converge se, e somente se, o valor absoluto da razão for menor que 1. Ou seja:
Aplicando isso à nossa série, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver a inequação para encontrar os valores de que satisfazem a condição de convergência:

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .

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Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
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