Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos descobrir o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada por
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a análise. Observe que
pode ser reescrito como
. Assim, a série fica:
Isso transforma a série em uma série geométrica com razão
.
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica da forma
converge se, e somente se, o valor absoluto da razão
for menor que 1. Ou seja:
Aplicando isso à nossa série, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver a inequação para encontrar os valores de
que satisfazem a condição de convergência:
Resposta
O intervalo de convergência da série é
e o raio de convergência é
.
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Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
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