Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências para analisar: . O objetivo é descobrir qual é o intervalo de valores de onde essa série converge, ou seja, onde a soma dos termos dá um resultado finito. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries de potências e usar um método para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o raio de convergência. Esse raio nos diz até onde o valor de pode variar para que a série ainda converja. Para encontrá-lo, usamos geralmente o Teste da Raiz ou o Teste da Razão. Neste caso, o Teste da Raiz vai ser bem útil.
O Teste da Raiz funciona assim: a gente calcula o limite da raiz -ésima do valor absoluto do termo geral da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Raiz na nossa série:
Sabemos que e tendem a 1 quando vai para o infinito. Portanto, o limite simplifica para:
Para que a série converja, precisamos que esse limite seja menor que 1:
Isso nos indica que o raio de convergência é 1.

Passo 4

Agora que sabemos o raio de convergência, podemos determinar o intervalo de convergência. Com , o intervalo vai de a . Mas temos que verificar as extremidades para saber se a série converge nesses pontos.
Para :
Essa é uma série alternada. Vamos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos diminuem em módulo e tendem a zero, a série converge.
Como é positiva, decrescente e tende a zero, a série converge para .
Para :
Essa é uma série p, com mas com o denominador extra , o que faz com que a série convirja por comparação com a série , que é convergente.

Resposta

O raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência é .

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