Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente descobrir o intervalo e o raio de convergência dessa série de potências:
Vamos precisar usar alguns conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Raiz. Vou te explicar cada passo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da série de potências. Aqui, temos:
O próximo passo é encontrar o raio de convergência dessa série, que nos diz até onde a série converge em relação ao ponto central, que nesse caso é
.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar até onde a série converge verificando o limite da raiz enésima do valor absoluto do termo geral da série.
A fórmula do Teste da Raiz é:
Vamos aplicar isso na nossa série.
Passo 4
Primeiro, calculamos o valor absoluto do termo geral:
Agora, aplicamos a raiz enésima:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Perceba que:
Portanto, o limite simplifica para:
Passo 6
Aplicando o Teste da Raiz, temos:
Para que a série convirja, precisamos que:
Isso nos dá o intervalo de convergência em torno de
.
Passo 7
Resolvendo a inequação
, encontramos:
Adicionando 2 em todos os lados:
Então, o intervalo de convergência é de 1 a 3.
Passo 8
O raio de convergência
é a metade do comprimento do intervalo de convergência. Como o intervalo vai de 1 a 3, o comprimento é 2. Portanto:
Resposta
O intervalo de convergência da série é
e o raio de convergência é
.
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