Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir: sumn=1^+infty (-1)^n-1(x-2)^nraiz3 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente descobrir o intervalo e o raio de convergência dessa série de potências:
sumn=1^+infty (-1)^n-1(x-2)^nraiz3 n
Vamos precisar usar alguns conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Raiz. Vou te explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da série de potências. Aqui, temos:
an = (-1)^n-1(x-2)^nraiz3 n
O próximo passo é encontrar o raio de convergência dessa série, que nos diz até onde a série converge em relação ao ponto central, que nesse caso é .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar até onde a série converge verificando o limite da raiz enésima do valor absoluto do termo geral da série.
A fórmula do Teste da Raiz é:
R = 1limsupn to +infty raiz[n]|an|
Vamos aplicar isso na nossa série.

Passo 4

Primeiro, calculamos o valor absoluto do termo geral:
|an| = |x-2|^nraiz3 n
Agora, aplicamos a raiz enésima:
raiz[n]|an| = raiz[n]|x-2|^nraiz[n]raiz3 n = |x-2|(3 n)^1/(2n)

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limn to +infty |x-2|(3 n)^1/(2n) tende ao infinito:
limn to +infty (3 n)^1/(2n) = 1
Perceba que:
limn to +infty |x-2|1 = |x-2|
Portanto, o limite simplifica para:

Passo 6

Aplicando o Teste da Raiz, temos:
R = 1|x-2|
Para que a série convirja, precisamos que:
|x-2| < 1
Isso nos dá o intervalo de convergência em torno de .

Passo 7

Resolvendo a inequação -1 < x - 2 < 1 , encontramos:
1 < x < 3
Adicionando 2 em todos os lados:
Então, o intervalo de convergência é de 1 a 3.

Passo 8

O raio de convergência R = 1 é a metade do comprimento do intervalo de convergência. Como o intervalo vai de 1 a 3, o comprimento é 2. Portanto:

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .

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