Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente descobrir o intervalo e o raio de convergência dessa série de potências:
Vamos precisar usar alguns conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Raiz. Vou te explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da série de potências. Aqui, temos:
O próximo passo é encontrar o raio de convergência dessa série, que nos diz até onde a série converge em relação ao ponto central, que nesse caso é .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar até onde a série converge verificando o limite da raiz enésima do valor absoluto do termo geral da série.
A fórmula do Teste da Raiz é:
Vamos aplicar isso na nossa série.

Passo 4

Primeiro, calculamos o valor absoluto do termo geral:
Agora, aplicamos a raiz enésima:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Perceba que:
Portanto, o limite simplifica para:

Passo 6

Aplicando o Teste da Raiz, temos:
Para que a série convirja, precisamos que:
Isso nos dá o intervalo de convergência em torno de .

Passo 7

Resolvendo a inequação , encontramos:
Adicionando 2 em todos os lados:
Então, o intervalo de convergência é de 1 a 3.

Passo 8

O raio de convergência é a metade do comprimento do intervalo de convergência. Como o intervalo vai de 1 a 3, o comprimento é 2. Portanto:

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .

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