Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir: sumn=1^+infty(-1)^n x^3 nn^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o intervalo e o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^+infty(-1)^n x^3nn^3/2
Isso pertence ao conteúdo de séries de potências na matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Raiz ou o Teste da Razão, que nos ajudam a encontrar o raio de convergência da série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais simples para facilitar a aplicação dos testes. Note que sumn=1^+infty(-1)^n (x^3)^nn^3/2 , então podemos escrever a série assim:
sumn=1^+infty an (x - c)^n
Agora, identificamos que esta é uma série de potências na forma geral:
onde e .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Raiz para encontrar o raio de convergência. O Teste da Raiz nos diz que o raio de convergência 1R = limsupn to +infty raiz[n]|an| pode ser encontrado por:
1R = limsupn to +infty raiz[n]| (-1)^nn^3/2 | = limsupn to +infty 1n^3/(2n)
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos calcular esse limite. Sabemos que n^3/(2n) = ( n^1/n )^3/2 to 1^3/2 = 1 tende a 1 quando 1R = limn to +infty 11 = 1 tende ao infinito. Portanto, temos:
R = 1
Então:
Portanto, o raio de convergência é:

Passo 5

Agora que temos o raio de convergência, podemos determinar o intervalo de convergência. A série converge para valores de |x^3| < 1 implies |x| < 1 tais que -1 < x < 1 . Substituindo :
Então, o intervalo de convergência é:

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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