Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o intervalo e o raio de convergência da seguinte série de potências:
Isso pertence ao conteúdo de séries de potências na matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Raiz ou o Teste da Razão, que nos ajudam a encontrar o raio de convergência da série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais simples para facilitar a aplicação dos testes. Note que , então podemos escrever a série assim:
Agora, identificamos que esta é uma série de potências na forma geral:
onde e .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Raiz para encontrar o raio de convergência. O Teste da Raiz nos diz que o raio de convergência pode ser encontrado por:
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos calcular esse limite. Sabemos que tende a 1 quando tende ao infinito. Portanto, temos:
Então:
Portanto, o raio de convergência é:

Passo 5

Agora que temos o raio de convergência, podemos determinar o intervalo de convergência. A série converge para valores de tais que . Substituindo :
Então, o intervalo de convergência é:

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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