Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o intervalo e o raio de convergência da seguinte série de potências:
Isso pertence ao conteúdo de séries de potências na matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Raiz ou o Teste da Razão, que nos ajudam a encontrar o raio de convergência da série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais simples para facilitar a aplicação dos testes. Note que , então podemos escrever a série assim:
Agora, identificamos que esta é uma série de potências na forma geral:
onde e .
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Raiz para encontrar o raio de convergência. O Teste da Raiz nos diz que o raio de convergência pode ser encontrado por:
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular esse limite. Sabemos que n^3/(2n) = ( n^1/n )^3/2 to 1^3/2 = 1 tende a 1 quando 1R = limn to +infty 11 = 1 tende ao infinito. Portanto, temos:
R = 1
Então:
Portanto, o raio de convergência é:
Passo 5
Agora que temos o raio de convergência, podemos determinar o intervalo de convergência. A série converge para valores de |x^3| < 1 implies |x| < 1 tais que -1 < x < 1 . Substituindo :
Então, o intervalo de convergência é:
Resposta
O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .