Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o intervalo e o raio de convergência da seguinte série de potências:
Isso envolve conceitos de séries de potências e métodos para determinar até onde a série “funciona”, ou seja, onde ela converge. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bacana para descobrir o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o Teste da Razão. Basicamente, a gente calcula o limite do valor absoluto de quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Simplificando, observamos que muitos termos se cancelam:
an+1an = 2n + 1(2n)(2n - 1) times x
Passo 5
Agora, vamos simplificar ainda mais:
an+1an = 2n + 14n^2 - 2n times x
Dividindo numerador e denominador por an+1an = 2 + 1n4n - 2 times x :
Passo 6
Agora, calculamos o limite quando limn to infty | 2 + 1n4n - 2 times x | = limn to infty | 24n times x | = limn to infty | x2n | = 0 tende ao infinito:
Passo 7
Como o limite é 0, que é menor que 1, isso significa que a série converge para todo valor de . Ou seja, o raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência abrange todos os números reais.
Resposta
O raio de convergência da série é infinito e o intervalo de convergência é (todos os números reais).