Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir: sumn=1^+infty 1.3 5 cdots(2 n-1)(2 n-2)! x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o intervalo e o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^+infty 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)(2n-2)! x^n
Isso envolve conceitos de séries de potências e métodos para determinar até onde a série “funciona”, ou seja, onde ela converge. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bacana para descobrir o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o Teste da Razão. Basicamente, a gente calcula o limite do valor absoluto de quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Aplicando isso na nossa série, temos:
an = 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)(2n-2)! x^n
Então, precisamos calcular:
limn to infty | an+1an |

Passo 4

Vamos montar essa razão:
an+1an = 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2(n+1)-1)(2(n+1)-2)! x^n+1 times (2n-2)!1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) x^n
Simplificando, observamos que muitos termos se cancelam:
an+1an = 2n + 1(2n)(2n - 1) times x

Passo 5

Agora, vamos simplificar ainda mais:
an+1an = 2n + 14n^2 - 2n times x
Dividindo numerador e denominador por an+1an = 2 + 1n4n - 2 times x :

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando limn to infty | 2 + 1n4n - 2 times x | = limn to infty | 24n times x | = limn to infty | x2n | = 0 tende ao infinito:

Passo 7

Como o limite é 0, que é menor que 1, isso significa que a série converge para todo valor de . Ou seja, o raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência abrange todos os números reais.

Resposta

O raio de convergência da série é infinito e o intervalo de convergência é (todos os números reais).

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