Seja f(x)=sumn=1^+infty (-1)^n+1n 5^n x^n. Qual o domínio da função f ? D(f)=(-15, 15]

Passo 1

Então, a gente tem a função . Nosso objetivo é descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de essa série infinita converge. Para isso, vamos usar um método chamado Teste da Razão que nos ajuda a encontrar o intervalo onde a série funciona direitinho.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa entender que uma série de potências como essa tem um raio de convergência . Esse raio determina até onde a série converge. Para encontrar , usamos o Teste da Razão, que basicamente compara o termo geral da série com o próximo termo para ver como eles se comportam quando cresce.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, pegamos o limite da razão entre o L = limn to infty | an+1an | -ésimo termo e o | an+1an | = | (-1)^(n+1)+1(n+1) 5^n+1 x^n+1 (-1)^n+1n , 5^n x^n | = | nn+1 cdot 15 cdot x | = nn+1 cdot |x|5 -ésimo termo em módulo:
No nosso caso, . Então,

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty nn+1 cdot |x|5 = 1 cdot |x|5 = |x|5 vai para o infinito:
|x|5 < 1 implies |x| < 5
Para a série convergir, precisamos que :
Portanto, o raio de convergência .

Passo 5

Com o raio de convergência em mãos, sabemos que a série converge para , ou seja, está no intervalo . Porém, precisamos verificar o comportamento nos extremos desse intervalo para ver se eles fazem parte do domínio.

Passo 6

Vamos testar f(-5) = sumn=1^+infty (-1)^n+1n , 5^n (-5)^n = sumn=1^+infty (-1)^n+1 (-1)^nn = sumn=1^+infty 1n e f(5) = sumn=1^+infty (-1)^n+1n , 5^n 5^n = sumn=1^+infty (-1)^n+1n :
  • Para :
Essa série diverge (é a série harmônica).
  • Para :
Essa é a série alternada harmônica, que converge.

Resposta

Então, o domínio da função é .

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