Seja . Qual o domínio da função ?

Passo 1

Então, a gente tem a função . Nosso objetivo é descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de essa série infinita converge. Para isso, vamos usar um método chamado Teste da Razão que nos ajuda a encontrar o intervalo onde a série funciona direitinho.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa entender que uma série de potências como essa tem um raio de convergência . Esse raio determina até onde a série converge. Para encontrar , usamos o Teste da Razão, que basicamente compara o termo geral da série com o próximo termo para ver como eles se comportam quando cresce.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, pegamos o limite da razão entre o -ésimo termo e o -ésimo termo em módulo:
No nosso caso, . Então,

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando vai para o infinito:
Para a série convergir, precisamos que :
Portanto, o raio de convergência .

Passo 5

Com o raio de convergência em mãos, sabemos que a série converge para , ou seja, está no intervalo . Porém, precisamos verificar o comportamento nos extremos desse intervalo para ver se eles fazem parte do domínio.

Passo 6

Vamos testar e :
  • Para :
Essa série diverge (é a série harmônica).
  • Para :
Essa é a série alternada harmônica, que converge.

Resposta

Então, o domínio da função é .

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O pH dos vinhos varia entre 2,8 e 3,8 . Se o pH do vinho é muito alto, digamos, 4,0 ou acima, o vinho se torna instável e adquire gosto pouco marcante. Um certo vinho tinto francês tem pH de 3,2 e um certo vinho branco italiano tem pH de 2,9. Qual dos dois vinhos possui concentração mais baixa de íons de hidrogênio?
O pH é definido como sendo o oposto do logaritmo da concentração dos íons na base 10, isto é, .
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Seja . Calcule .