Então, a gente tem a função . Nosso objetivo é descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de essa série infinita converge. Para isso, vamos usar um método chamado Teste da Razão que nos ajuda a encontrar o intervalo onde a série funciona direitinho.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa entender que uma série de potências como essa tem um raio de convergência. Esse raio determina até onde a série converge. Para encontrar , usamos o Teste da Razão, que basicamente compara o termo geral da série com o próximo termo para ver como eles se comportam quando cresce.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão, pegamos o limite da razão entre o -ésimo termo e o -ésimo termo em módulo:
No nosso caso, . Então,
Passo 4
Agora, calculamos o limite quando vai para o infinito:
Para a série convergir, precisamos que :
Portanto, o raio de convergência .
Passo 5
Com o raio de convergência em mãos, sabemos que a série converge para , ou seja, está no intervalo . Porém, precisamos verificar o comportamento nos extremos desse intervalo para ver se eles fazem parte do domínio.