Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série de potências na forma:
O objetivo é determinar o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dos coeficientes da série. Observamos que o numerador é o produto dos números ímpares até , e o denominador é . Podemos reescrever o numerador da seguinte forma:
Substituindo na série, temos:
Passo 3
Vamos simplificar a fração :
Portanto, a série fica:
Passo 4
Agora, aplicaremos o Teste da Razão para determinar o raio de convergência . O Teste da Razão nos diz que:
(2n+2)(2n+1)2 cdot (n+1) cdot (2n)(2n-1) x = 2(n+1)(2n+1)2(n+1)(2n)(2n-1) x = 2n+12n(2n-1) x
Passo 7
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | 2n+12n(2n-1) x | = limn to infty 2n+14n^2 - 2n |x| = limn to infty 2 + 1n4n - 2 |x| = 0 tende ao infinito:
Como , a série converge para todo valor de . Portanto, o raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais.
Resposta
O raio de convergência da série é infinito e o intervalo de convergência é (todos os números reais).