Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
sumn=1^+infty 1.3 5 cdots(2 n-1)(2 n-2)! x^n

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série de potências na forma:
sumn=1^+infty 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)(2n-2)! x^n
O objetivo é determinar o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dos coeficientes da série. Observamos que o numerador é o produto dos números ímpares até 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) = (2n)!2^n cdot n! , e o denominador é sumn=1^+infty (2n)!2^n cdot n!(2n-2)! x^n = sumn=1^+infty (2n)!2^n cdot n! cdot (2n-2)! x^n . Podemos reescrever o numerador da seguinte forma:
Substituindo na série, temos:

Passo 3

Vamos simplificar a fração (2n)!(2n-2)! = (2n) cdot (2n-1) :
sumn=1^+infty (2n) cdot (2n-1)2^n cdot n! x^n
Portanto, a série fica:

Passo 4

Agora, aplicaremos o Teste da Razão para determinar o raio de convergência R = limn to infty | anan+1 | . O Teste da Razão nos diz que:
Onde é o termo geral da série. Vamos encontrar .

Passo 5

Calculando an = (2n) cdot (2n-1)2^n cdot n! x^n :
an+1 = (2(n+1)) cdot (2(n+1)-1)2^n+1 cdot (n+1)! x^n+1 = (2n+2) cdot (2n+1)2^n+1 cdot (n+1)! x^n+1
an+1an = (2n+2)(2n+1)2^n+1(n+1)! x^n+1 cdot 2^n n!(2n)(2n-1) x^-n = (2n+2)(2n+1)2 cdot (n+1) cdot (2n)(2n-1) x
Então,

Passo 6

Simplificando a expressão acima:
(2n+2)(2n+1)2 cdot (n+1) cdot (2n)(2n-1) x = 2(n+1)(2n+1)2(n+1)(2n)(2n-1) x = 2n+12n(2n-1) x

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | 2n+12n(2n-1) x | = limn to infty 2n+14n^2 - 2n |x| = limn to infty 2 + 1n4n - 2 |x| = 0 tende ao infinito:
Como , a série converge para todo valor de . Portanto, o raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

O raio de convergência da série é infinito e o intervalo de convergência é (todos os números reais).

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