Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Neste exercício, precisamos determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada por:
Vamos utilizar o Teste do Quociente (também conhecido como Teste da Razão) que é uma ferramenta poderosa para analisar a convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
O Teste do Quociente nos diz para calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos calcular o quociente :
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Percebemos que tende a quando cresce infinitamente, então:
Passo 5
Para a série convergir, o limite deve ser menor que :
Resolvendo para :
Passo 6
O raio de convergência é o valor que satisfaz . Assim:
E o intervalo de convergência é:
Resposta
O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .