Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
sumn=0^+infty 4^n+1 x^2 nn+3

Passo 1

Neste exercício, precisamos determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada por:
sumn=0^+infty 4^n+1 x^2nn+3
Vamos utilizar o Teste do Quociente (também conhecido como Teste da Razão) que é uma ferramenta poderosa para analisar a convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = 4^n+1 x^2nn+3
O Teste do Quociente nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular o quociente an+1an:
an+1an = 4^(n+1)+1 x^2(n+1)(n+1)+3 cdot n+34^n+1 x^2n
Simplificando os termos:
an+1an = 4^n+2 x^2n+2n+4 cdot n+34^n+1 x^2n = 4 cdot x^2 cdot n+3n+4

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty 4 x^2 cdot n+3n+4
Percebemos que n+3n+4 tende a 1 quando n cresce infinitamente, então:
L = 4 x^2 cdot 1 = 4 x^2

Passo 5

Para a série convergir, o limite L deve ser menor que 1:
4 x^2 < 1
Resolvendo para x:
x^2 < 14 |x| < 12

Passo 6

O raio de convergência R é o valor que satisfaz |x| < R. Assim:
R = 12
E o intervalo de convergência é:
( -12, 12 )

Resposta

O intervalo de convergência é ( -12, 12 ) e o raio de convergência é R = 12.

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