Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Neste exercício, precisamos determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada por:
Vamos utilizar o Teste do Quociente (também conhecido como Teste da Razão) que é uma ferramenta poderosa para analisar a convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
O Teste do Quociente nos diz para calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular o quociente :
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Percebemos que tende a quando cresce infinitamente, então:

Passo 5

Para a série convergir, o limite deve ser menor que :
Resolvendo para :

Passo 6

O raio de convergência é o valor que satisfaz . Assim:
E o intervalo de convergência é:

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

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Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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