Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir qual é o intervalo e o raio de convergência dessa série de potências:
Isso pertence à matéria de séries de potências e para resolver vamos precisar usar alguns testes de convergência, como o Teste da Raiz ou o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar o trabalho. Note que
. Então, podemos reescrever a série assim:
Agora, temos uma série onde a variável é
.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Raiz para encontrar o raio de convergência. Esse teste diz que:
Onde
.
Passo 4
Calculando a raiz n-ésima de
:
À medida que
cresce,
tende a 1. Então:
Passo 5
Agora, aplicando o Teste da Raiz:
Então, o raio de convergência
é 1.
Passo 6
Para encontrar o intervalo de convergência, sabemos que
. Portanto, o intervalo é:
Agora, precisamos verificar os pontos finais
e
.
Passo 7
Vamos testar
:
Essa é uma série alternada com termos decrescentes para zero, então converge pelo Teste da Série Alternada.
Passo 8
Agora, testamos
:
Essa é uma série p com
, então converge absolutamente.
Resposta
O intervalo de convergência é
e o raio de convergência é 1.
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