Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir qual é o intervalo e o raio de convergência dessa série de potências:
Isso pertence à matéria de séries de potências e para resolver vamos precisar usar alguns testes de convergência, como o Teste da Raiz ou o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar o trabalho. Note que . Então, podemos reescrever a série assim:
Agora, temos uma série onde a variável é .

Passo 3

Vamos usar o Teste da Raiz para encontrar o raio de convergência. Esse teste diz que:
Onde .

Passo 4

Calculando a raiz n-ésima de :
À medida que cresce, tende a 1. Então:

Passo 5

Agora, aplicando o Teste da Raiz:
Então, o raio de convergência é 1.

Passo 6

Para encontrar o intervalo de convergência, sabemos que . Portanto, o intervalo é:
Agora, precisamos verificar os pontos finais e .

Passo 7

Vamos testar :
Essa é uma série alternada com termos decrescentes para zero, então converge pelo Teste da Série Alternada.

Passo 8

Agora, testamos :
Essa é uma série p com , então converge absolutamente.

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é 1.

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Resolva as seguintes EDO