Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
sumn=1^+infty(-1)^n x^3 nn^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir qual é o intervalo e o raio de convergência dessa série de potências:
sumn=1^+infty(-1)^n x^3nn^3 / 2
Isso pertence à matéria de séries de potências e para resolver vamos precisar usar alguns testes de convergência, como o Teste da Raiz ou o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar o trabalho. Note que sumn=1^+infty(-1)^n (x^3)^nn^3 / 2 = sumn=1^+infty (-x^3)^nn^3 / 2 . Então, podemos reescrever a série assim:
Agora, temos uma série onde a variável é .

Passo 3

Vamos usar o Teste da Raiz para encontrar o raio de convergência. Esse teste diz que:
R = 1limsupn to infty raiz[n]|an|
Onde .

Passo 4

Calculando a raiz n-ésima de raiz[n]|an| = raiz[n]|x^3|^nn^3/2 = |x^3| cdot 1n^3/(2n) :
limn to infty raiz[n]|an| = |x^3|
À medida que cresce, tende a 1. Então:

Passo 5

Agora, aplicando o Teste da Raiz:
R = 1|x^3| Rightarrow |x^3| < 1 Rightarrow |x| < 1
Então, o raio de convergência é 1.

Passo 6

Para encontrar o intervalo de convergência, sabemos que -1 < x < 1 . Portanto, o intervalo é:
Agora, precisamos verificar os pontos finais e .

Passo 7

Vamos testar sumn=1^+infty (-1)^nn^3/2 :
Essa é uma série alternada com termos decrescentes para zero, então converge pelo Teste da Série Alternada.

Passo 8

Agora, testamos sumn=1^+infty (-1)^n cdot (-1)^3nn^3/2 = sumn=1^+infty (-1)^4nn^3/2 = sumn=1^+infty 1n^3/2 :
Essa é uma série p com , então converge absolutamente.

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é 1.

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