Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
sumn=0^+infty(-1)^n x^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências: sumn=0^+infty(-1)^n x^nn!. Nosso objetivo é descobrir em qual intervalo essa série converge e qual é o raio de convergência. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, uma ferramenta poderosa para analisar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Então, vamos calcular:
L = limn to +infty | an+1an |
Onde an = (-1)^n x^nn!.

Passo 3

Substituindo an na fórmula:
L = limn to +infty | (-1)^n+1 x^n+1(n+1)!(-1)^n x^nn! |
Simplificando:
L = limn to +infty | -xn+1 | = limn to +infty |x|n+1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite:
L = limn to +infty |x|n+1 = 0
Como 0 < 1, segundo o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de x.

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência, usamos a fórmula:
R = 1L
No nosso caso, L = 0, então:
R = 10 = +infty

Resposta

A série converge para todos os números reais. Portanto, o intervalo de convergência é (-infty, +infty) e o raio de convergência é infinito.

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