Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências: . Nosso objetivo é descobrir em qual intervalo essa série converge e qual é o raio de convergência. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, uma ferramenta poderosa para analisar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Então, vamos calcular:
Onde .

Passo 3

Substituindo na fórmula:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite:
Como , segundo o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de .

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência, usamos a fórmula:
No nosso caso, , então:

Resposta

A série converge para todos os números reais. Portanto, o intervalo de convergência é e o raio de convergência é infinito.

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