Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências: . Nosso objetivo é descobrir em qual intervalo essa série converge e qual é o raio de convergência. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, uma ferramenta poderosa para analisar a convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Então, vamos calcular:
Onde an = (-1)^n x^nn!.
Passo 3
Substituindo an na fórmula:
L = limn to +infty | (-1)^n+1 x^n+1(n+1)!(-1)^n x^nn! |
Simplificando:
L = limn to +infty | -xn+1 | = limn to +infty |x|n+1
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite:
L = limn to +infty |x|n+1 = 0
Como 0 < 1, segundo o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de x.
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência, usamos a fórmula:
R = 1L
No nosso caso, L = 0, então:
R = 10 = +infty
Resposta
A série converge para todos os números reais. Portanto, o intervalo de convergência é (-infty, +infty) e o raio de convergência é infinito.