Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, um tópico de cálculo que envolve entender onde a série converge (ou seja, soma para um valor finito) e qual é o “tamanho” desse intervalo de convergência, conhecido como raio de convergência. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para encontrar o raio de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência de uma série de potências da forma:
Aplicamos o teste calculando o limite:
Se esse limite existir e for igual a , então o raio de convergência é dado por:
Agora, vamos aplicar isso à nossa série.
Passo 3
Identificamos os coeficientes an = (-1)^n+1 (n+1)n! da nossa série:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n+2 (n+2)(n+1)!(-1)^n+1 (n+1)n! |
Simplificando os termos:
L = limn to infty | (-1)^n+2(-1)^n+1 cdot (n+2)(n+1)! cdot n!(n+1) | = limn to infty | (-1) cdot (n+2)(n+1) cdot 1n+1 |
Note que L = limn to infty (n+2)(n+1)^2 em valor absoluto é 1. Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular esse limite. Dividimos o numerador e o denominador por L = limn to infty 1 + 2n(1 + 1n)^2 :
L = 1 + 0(1 + 0)^2 = 1
Quando tende ao infinito, os termos e tendem a zero:
Passo 6
Com o valor de R = 1L = 11 = 1 , podemos encontrar o raio de convergência :
Passo 7
Agora que temos o raio de convergência, sabemos que a série converge para valores de (-1, 1) tais que , ou seja, . Portanto, o intervalo de convergência é:
Resposta
O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .