Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
sumn=0^+infty(-1)^n+1 (n+1) x^nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências:
sumn=0^+infty(-1)^n+1 (n+1) x^nn!
Aqui, estamos lidando com séries de potências, um tópico de cálculo que envolve entender onde a série converge (ou seja, soma para um valor finito) e qual é o “tamanho” desse intervalo de convergência, conhecido como raio de convergência. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para encontrar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência sumn=0^+infty an x^n de uma série de potências da forma:
L = limn to infty | an+1an |
Aplicamos o teste calculando o limite:
R = 1L
Se esse limite existir e for igual a , então o raio de convergência é dado por:
Agora, vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Identificamos os coeficientes an = (-1)^n+1 (n+1)n! da nossa série:
an+1 = (-1)^(n+1)+1 (n+2)(n+1)! = (-1)^n+2 (n+2)(n+1)!
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n+2 (n+2)(n+1)!(-1)^n+1 (n+1)n! |
Simplificando os termos:
L = limn to infty | (-1)^n+2(-1)^n+1 cdot (n+2)(n+1)! cdot n!(n+1) | = limn to infty | (-1) cdot (n+2)(n+1) cdot 1n+1 |
Note que L = limn to infty (n+2)(n+1)^2 em valor absoluto é 1. Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular esse limite. Dividimos o numerador e o denominador por L = limn to infty 1 + 2n(1 + 1n)^2 :
L = 1 + 0(1 + 0)^2 = 1
Quando tende ao infinito, os termos e tendem a zero:

Passo 6

Com o valor de R = 1L = 11 = 1 , podemos encontrar o raio de convergência :

Passo 7

Agora que temos o raio de convergência, sabemos que a série converge para valores de (-1, 1) tais que , ou seja, . Portanto, o intervalo de convergência é:

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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