Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, um tópico de cálculo que envolve entender onde a série converge (ou seja, soma para um valor finito) e qual é o “tamanho” desse intervalo de convergência, conhecido como raio de convergência. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para encontrar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência de uma série de potências da forma:
Aplicamos o teste calculando o limite:
Se esse limite existir e for igual a , então o raio de convergência é dado por:
Agora, vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Identificamos os coeficientes da nossa série:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Razão:
Simplificando os termos:
Note que em valor absoluto é 1. Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular esse limite. Dividimos o numerador e o denominador por :
Quando tende ao infinito, os termos e tendem a zero:

Passo 6

Com o valor de , podemos encontrar o raio de convergência :

Passo 7

Agora que temos o raio de convergência, sabemos que a série converge para valores de tais que , ou seja, . Portanto, o intervalo de convergência é:

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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Resolva as seguintes EDO
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