Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
sumn=1^+infty (-1)^n-1(x-2)^nraiz3 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de potências:
sumn=1^+infty (-1)^n-1(x-2)^nraiz3 n
Isso está relacionado ao conteúdo de Séries de Potências e Convergência de Séries na matemática. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite do valor absoluto da razão entre o termo L = limn to infty | an+1an | e conforme tende ao infinito:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = (-1)^n-1(x-2)^nraiz3 n na nossa série:
an+1 = (-1)^(n+1)-1(x-2)^n+1raiz3 (n+1) = (-1)^n (x-2)^n+1raiz3 (n+1)
Agora, calculamos :

Passo 4

Vamos montar a razão | an+1an | = | (-1)^n (x-2)^n+1raiz3 (n+1) cdot raiz3 n(-1)^n-1 (x-2)^n | :
= | (x-2) raiznraizn+1 | = |x-2| cdot raiz nn+1
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty |x-2| cdot raiz nn+1 = |x-2| cdot limn to infty raiz nn+1 = |x-2| cdot 1 = |x-2| tende ao infinito:

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que |x-2| < 1 :
Isso significa que a série converge quando está a uma distância menor que 1 de 2.

Passo 7

O raio de convergência R = 1 é a distância que determina até onde pode variar para que a série converja. Nesse caso:

Passo 8

O intervalo de convergência é o conjunto de valores de 2 - 1 < x < 2 + 1 implies 1 < x < 3 que satisfazem :

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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