Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de potências:
Isso está relacionado ao conteúdo de Séries de Potências e Convergência de Séries na matemática. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite do valor absoluto da razão entre o termo e conforme tende ao infinito:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar na nossa série:
Agora, calculamos :
Passo 4
Vamos montar a razão :
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Passo 6
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que :
Isso significa que a série converge quando está a uma distância menor que 1 de 2.
Passo 7
O raio de convergência é a distância que determina até onde pode variar para que a série converja. Nesse caso:
Passo 8
O intervalo de convergência é o conjunto de valores de que satisfazem :
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .