Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de potências:
Isso está relacionado ao conteúdo de Séries de Potências e Convergência de Séries na matemática. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite do valor absoluto da razão entre o termo e conforme tende ao infinito:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar na nossa série:
Agora, calculamos :

Passo 4

Vamos montar a razão :
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que :
Isso significa que a série converge quando está a uma distância menor que 1 de 2.

Passo 7

O raio de convergência é a distância que determina até onde pode variar para que a série converja. Nesse caso:

Passo 8

O intervalo de convergência é o conjunto de valores de que satisfazem :

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir: