Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso tá ligado ao estudo de séries infinitas e à ideia de convergência na matemática, ou seja, se a soma dos termos da série chega a um valor específico ou não. Vamos precisar usar testes de convergência, como o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão da série: . O indica que a série é alternada, ou seja, os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa.
Passo 3
Para verificar a convergência absoluta, a gente ignora o sinal alternado e analisa a série de valores absolutos: .
Passo 4
Simplificando a expressão da série de valores absolutos: . Isso parece uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão.
Passo 5
Nas séries geométricas, a série converge se a razão e diverge se . Aqui, a razão é , que é menor que 1.
Passo 6
Como , a série de valores absolutos converge. Isso significa que a série original também é absolutamente convergente.