Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual é o intervalo e o raio de convergência da série de potências . Isso é parte de análise matemática, onde estudamos até onde uma série de potências “funciona” ou converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observe que . Então, a série fica:

Passo 3

Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica da forma , onde . Uma série geométrica converge se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja:

Passo 4

Vamos resolver a inequação para encontrar os valores de que satisfazem:

Passo 5

Então, o intervalo de convergência é os valores de tais que . Isso significa que o intervalo é:

Passo 6

O raio de convergência é simplesmente a metade do comprimento do intervalo de convergência. Sabemos que:

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

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