Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual é o intervalo e o raio de convergência da série de potências
. Isso é parte de análise matemática, onde estudamos até onde uma série de potências “funciona” ou converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observe que
. Então, a série fica:
Passo 3
Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica da forma
, onde
. Uma série geométrica converge se o valor absoluto de
for menor que 1, ou seja:
Passo 4
Vamos resolver a inequação para encontrar os valores de
que satisfazem:
Passo 5
Então, o intervalo de convergência é os valores de
tais que
. Isso significa que o intervalo é:
Passo 6
O raio de convergência é simplesmente a metade do comprimento do intervalo de convergência. Sabemos que:
Resposta
O intervalo de convergência é
e o raio de convergência é
.
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Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
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