Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
sumn=0^+infty(3 x)^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual é o intervalo e o raio de convergência da série de potências . Isso é parte de análise matemática, onde estudamos até onde uma série de potências “funciona” ou converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observe que sumn=0^+infty 9^n x^2n = sumn=0^+infty (9x^2)^n . Então, a série fica:

Passo 3

Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica da forma |9x^2| < 1 , onde . Uma série geométrica converge se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja:

Passo 4

Vamos resolver a inequação para encontrar os valores de 9x^2 < 1 Rightarrow x^2 < 19 que satisfazem:
|x| < 13

Passo 5

Então, o intervalo de convergência é os valores de ( -13, 13 ) tais que . Isso significa que o intervalo é:

Passo 6

O raio de convergência é simplesmente a metade do comprimento do intervalo de convergência. Sabemos que:
Raio = Limite superior - Limite inferior2 = 13 - (-13)2 = 232 = 13

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

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