Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=2^+infty (-1)^n-1 2^2 n5^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos trabalhar com Séries Numéricas e Convergência de Séries. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série e aplicar testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergente Absoluto: A série converge.
  • Convergente Condicional: A série converge, mas não converge.
  • Divergente: A série não converge.
Vamos começar verificando a convergência absoluta da série.

Passo 3

Vamos calcular a série dos valores absolutos:
sumn=2^+infty | (-1)^n-1 2^2 n5^n-1 | = sumn=2^+infty 2^2n5^n-1
Simplificando os termos:
2^2n = (2^2)^n = 4^n e 5^n-1 = 5^n5
Então, a série fica:
sumn=2^+infty 4^n5^n5 = sumn=2^+infty 4^n cdot 55^n = 5 sumn=2^+infty ( 45 )^n

Passo 4

Agora, observamos que temos uma série geométrica da forma , onde .
Sabemos que uma série geométrica converge se . No nosso caso, , então a série converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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