Resolva as seguintes EDO

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar separar as variáveis e e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Multiplicamos ambos os lados por e por :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajudará a encontrar uma relação entre e .
Do lado esquerdo, temos:
Do lado direito, temos:

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Fazemos uma substituição para simplificar:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Mas essa integral é um pouco mais complexa. Vamos simplificar:
Sabemos que . Então,
Então, voltando à substituição:
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Onde é uma constante geral que combina e .

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :
Multiplicamos ambos os lados por :
Elevamos ambos os lados à potência para isolar :

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é a constante de integração.

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Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
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