Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma série infinita:
A pergunta é: essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente? Pra resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Então, vamos considerar:
Agora, para testar a convergência dessa série positiva, podemos usar o Teste da Integral. Esse teste nos diz que se a integral imprópria de uma função contínua, positiva e decrescente converge, então a série correspondente também converge.
Vamos analisar a integral:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja , então . Mas, na verdade, essa integral não tem uma antiderivada simples e, ao avaliá-la, percebemos que ela diverge. Isso significa que a série de valores absolutos não converge.
Passo 3
Como a série de valores absolutos divergiu, ela não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se a série original é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.
Para aplicar esse teste, precisamos verificar dois pontos:
Os termos são decrescentes.
O limite desses termos quando tende ao infinito é zero.
Primeiro, cresce mais lentamente que qualquer potência de , então de fato diminui conforme aumenta.
Segundo, calculamos o limite:
Como ambos os critérios são atendidos, a série original é condicionalmente convergente.