Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma série infinita:
A pergunta é: essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente? Pra resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Então, vamos considerar:
Agora, para testar a convergência dessa série positiva, podemos usar o Teste da Integral. Esse teste nos diz que se a integral imprópria de uma função contínua, positiva e decrescente converge, então a série correspondente também converge.
Vamos analisar a integral:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja , então . Mas, na verdade, essa integral não tem uma antiderivada simples e, ao avaliá-la, percebemos que ela diverge. Isso significa que a série de valores absolutos não converge.

Passo 3

Como a série de valores absolutos divergiu, ela não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se a série original é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.
Para aplicar esse teste, precisamos verificar dois pontos:
  1. Os termos são decrescentes.
  2. O limite desses termos quando tende ao infinito é zero.
Primeiro, cresce mais lentamente que qualquer potência de , então de fato diminui conforme aumenta.
Segundo, calculamos o limite:
Como ambos os critérios são atendidos, a série original é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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