Se f(2) = 2 e f'(2) = 4 então calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de h(x) = (4 x^3 - 3 x^2) / f(x) em 2,10.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente, que é usada para derivar funções que são o quociente de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de , que nos dará a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em qualquer ponto da função. A fórmula da derivada usando a regra do quociente é:
onde e .

Passo 3

Vamos calcular , a derivada de :

Passo 4

Sabemos que , então . A questão nos dá os valores e .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da derivada:

Passo 6

Vamos calcular cada parte:

Passo 7

Substituindo esses valores:

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente é .

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Se f e g forem deriváveis em x = 2 então d/dx [f(x) + 5 g(x)] |x=2 = f'(2) + 5 g'(2).