Obtenha a solução geral das seguintes equações diferenciais: .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial . O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais de primeiro grau. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a transformar a equação em uma forma que podemos integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação em sua forma padrão. Nosso objetivo é deixá-la como , onde e são funções de . Na nossa equação, temos e .
Agora, o fator integrante é dado por . Assim, precisamos calcular :
Agora, vamos calcular o fator integrante:
Então, o fator integrante é:

Passo 3

Agora, multiplicamos toda a equação pela nossa fator integrante:
A parte do lado direito pode ser simplificada. Vamos focar na parte que envolve a função do lado direito:
Então, a equação fica:
Agora, a parte da esquerda pode ser reescrita como a derivada do produto, ou seja:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é simples:
Para o lado direito, precisamos calcular as integrais separadamente.
  1. Para , usamos a técnica de integração por partes.
    • Seja e .
    • Então, e .
    • Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:
Assim,
Colocando tudo junto, obtemos a integral do lado direito.
  1. Para , é bem mais simples:

Passo 5

Após integrar, temos:
Podemos agora resolver para :

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante que pode ser determinada por condições iniciais se houver.

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verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial.
;
Encontre a transformada de Laplace da função.
.
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