Obtenha a solução geral das seguintes equações diferenciais: y^prime+3 y=t+e^-2 t.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial y^prime+3 y=t+e^-2 t. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais de primeiro grau. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a transformar a equação em uma forma que podemos integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação em sua forma padrão. Nosso objetivo é deixá-la como y^prime + P(t) y = Q(t), onde P(t) e Q(t) são funções de t. Na nossa equação, temos P(t) = 3 e Q(t) = t + e^-2t.
Agora, o fator integrante é dado por e^integral P(t) dt. Assim, precisamos calcular P(t):
P(t) = 3
Agora, vamos calcular o fator integrante:
integral P(t) dt = integral 3 dt = 3t
Então, o fator integrante é:
e^3t

Passo 3

Agora, multiplicamos toda a equação pela nossa fator integrante:
e^3t y^prime + 3 e^3t y = e^3t(t + e^-2t)
A parte do lado direito pode ser simplificada. Vamos focar na parte que envolve a função do lado direito:
e^3t (t + e^-2t) = e^3t t + e^3t e^-2t = e^3t t + e^t
Então, a equação fica:
e^3t y^prime + 3 e^3t y = e^3t t + e^t
Agora, a parte da esquerda pode ser reescrita como a derivada do produto, ou seja:
ddt(e^3t y) = e^3t t + e^t

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral ddt(e^3t y) dt = integral (e^3t t + e^t) dt
A integral do lado esquerdo é simples:
e^3t y
Para o lado direito, precisamos calcular as integrais separadamente.
  1. Para integral e^3t t dt, usamos a técnica de integração por partes.
    • Seja u = t e dv = e^3t dt.
    • Então, du = dt e v = 13 e^3t.
    • Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:
integral u dv = uv - integral v du
Assim,
integral t e^3t dt = t 13 e^3t - integral 13 e^3t dt = t 13 e^3t - 19 e^3t + C1
Colocando tudo junto, obtemos a integral do lado direito.
  1. Para integral e^t dt, é bem mais simples:
integral e^t dt = e^t + C2

Passo 5

Após integrar, temos:
e^3t y = 13te^3t - 19 e^3t + e^t + C
Podemos agora resolver para y:
y = 13t - 19 + e^-2t + Ce^-3t

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
y = 13t - 19 + e^-2t + Ce^-3t
onde C é uma constante que pode ser determinada por condições iniciais se houver.

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