Obtenha a solução geral das seguintes equações diferenciais:
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial
. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais de primeiro grau. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a transformar a equação em uma forma que podemos integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação em sua forma padrão. Nosso objetivo é deixá-la como
, onde
e
são funções de
. Na nossa equação, temos
e
.
Agora, o fator integrante é dado por
. Assim, precisamos calcular
:
Agora, vamos calcular o fator integrante:
Então, o fator integrante é:
Passo 3
Agora, multiplicamos toda a equação pela nossa fator integrante:
A parte do lado direito pode ser simplificada. Vamos focar na parte que envolve a função do lado direito:
Então, a equação fica:
Agora, a parte da esquerda pode ser reescrita como a derivada do produto, ou seja:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é simples:
Para o lado direito, precisamos calcular as integrais separadamente.
- Para
, usamos a técnica de integração por partes. - Seja
e . - Então,
e . - Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:
- Seja
Assim,
Colocando tudo junto, obtemos a integral do lado direito.
- Para
, é bem mais simples:
Passo 5
Após integrar, temos:
Podemos agora resolver para
:
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante que pode ser determinada por condições iniciais se houver.
Exercícios relacionados
verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial.
;
Encontre a transformada de Laplace da função.
.
Um jogador de golfe atinge uma bola, dando-lhe uma velocidade inicial de módulo
dirigida
acima da horizontal. Supondo que a massa da bola seja 46 g e que a bola e o taco permaneçam em contato por
, encontre: a) o impulso sobre a bola.
no sentido inicial do vôo
Determine um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
.