Determine os intervalos nos quais afunção é crescente e nos quais é decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos fazer aqui é descobrir onde a função está crescendo e onde está decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos diz a taxa de variação da função em relação a . Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
A função que temos é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que, se temos , a derivada é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar onde é positiva e onde é negativa.
O denominador é sempre positivo porque qualquer número ao quadrado é positivo, e somar 9 garante que nunca será zero.
Então, o sinal da derivada depende apenas do numerador, que é :
  • Se (ou seja, ), então está crescendo.
  • Se (ou seja, ), então está decrescendo.

Resposta

A função é:
  • Crescente no intervalo
  • Decrescente no intervalo

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