Determine os intervalos nos quais afunção é crescente e nos quais é decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos fazer aqui é descobrir onde a função
está crescendo e onde está decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos diz a taxa de variação da função em relação a
. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
A função que temos é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que, se temos
, a derivada é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar onde
é positiva e onde é negativa.
O denominador
é sempre positivo porque qualquer número ao quadrado é positivo, e somar 9 garante que nunca será zero.
Então, o sinal da derivada depende apenas do numerador, que é
:
- Se
(ou seja, ), então ⇒ está crescendo. - Se
(ou seja, ), então ⇒ está decrescendo.
Resposta
A função
é:
- Crescente no intervalo
- Decrescente no intervalo
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Sejam
e
. Resolva o PVI constituído pela equação diferencial
e pela condição inicial
.
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