Encontre a solução geral de cada uma das EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve encontrar a solução geral de EDOs lineares homogêneas de segunda ordem. Para isso, vamos precisar entender como montar e resolver a equação característica associada à EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a EDO em sua forma característica. Substituímos
por
na equação diferencial, ficando:
Essa é a nossa equação característica, que nos ajudará a encontrar as raízes necessárias para a solução.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores:
Passo 4
Percebemos que o discriminante
é negativo, o que significa que as raízes são complexas conjugadas. Podemos simplificar
como
, onde
é a unidade imaginária. Assim, as raízes ficam:
Passo 5
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da EDO é dada por:
Aqui,
e
, então substituindo esses valores na fórmula:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Resolva o PVI constituído pela equação diferencial
e pela condição inicial
.
Utilize o teste dos caminhos para provar a nāo existência dos seguintes limites:
Determine os intervalos nos quais afunção é crescente e nos quais é decrescente.
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