Encontre a solução geral de cada uma das EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem: . O conteúdo que vamos usar aqui envolve encontrar a solução geral de EDOs lineares homogêneas de segunda ordem. Para isso, vamos precisar entender como montar e resolver a equação característica associada à EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a EDO em sua forma característica. Substituímos por na equação diferencial, ficando:
Essa é a nossa equação característica, que nos ajudará a encontrar as raízes necessárias para a solução.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo esses valores:

Passo 4

Percebemos que o discriminante é negativo, o que significa que as raízes são complexas conjugadas. Podemos simplificar como , onde é a unidade imaginária. Assim, as raízes ficam:

Passo 5

Com raízes complexas da forma , a solução geral da EDO é dada por:
Aqui, e , então substituindo esses valores na fórmula:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Sejam e . Resolva o PVI constituído pela equação diferencial
e pela condição inicial .
Utilize o teste dos caminhos para provar a nāo existência dos seguintes limites:
Determine os intervalos nos quais afunção é crescente e nos quais é decrescente.
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