Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a série de Maclaurin da função e determinar onde essa série converge. A série de Maclaurin é basicamente uma série de potências que expande uma função em torno de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como desenvolver séries de Maclaurin e identificar os intervalos de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a série de Maclaurin de uma função é a soma infinita de seus termos derivados avaliados em zero, multiplicados por e divididos por . A fórmula geral é:
No entanto, nossa função é um polinômio de terceiro grau, o que simplifica bastante as coisas porque polinômios são funções que podem ser exatamente representadas por suas próprias séries de Maclaurin sem precisar de termos infinitos.

Passo 3

Vamos encontrar a série de Maclaurin para cada termo da função separadamente. A função já está na forma de polinômio, então cada termo já corresponde a um termo na série de Maclaurin.
Para , a série é simplesmente .
Para , a série é .
Para , a série é .
E para o termo constante , a série é .

Passo 4

Agora, juntando todos esses termos, a série de Maclaurin da função é:

Passo 5

Como estamos lidando com um polinômio de grau 3, não há termos de ordem superior, e a série termina aqui. Além disso, polinômios são funções polinomiais que convergem para todo valor real de , porque não há restrições de convergência como em séries infinitas.

Resposta

A série de Maclaurin para é:
E o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
b)
Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
e)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
j)