Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a série de Maclaurin da função
e determinar onde essa série converge. A série de Maclaurin é basicamente uma série de potências que expande uma função em torno de
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como desenvolver séries de Maclaurin e identificar os intervalos de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a série de Maclaurin de uma função é a soma infinita de seus termos derivados avaliados em zero, multiplicados por
e divididos por
. A fórmula geral é:
No entanto, nossa função é um polinômio de terceiro grau, o que simplifica bastante as coisas porque polinômios são funções que podem ser exatamente representadas por suas próprias séries de Maclaurin sem precisar de termos infinitos.
Passo 3
Vamos encontrar a série de Maclaurin para cada termo da função separadamente. A função
já está na forma de polinômio, então cada termo já corresponde a um termo na série de Maclaurin.
Para
, a série é simplesmente
.
Para , a série é
.
Para , a série é
.
E para o termo constante , a série é
.
Para
Para
E para o termo constante
Passo 4
Agora, juntando todos esses termos, a série de Maclaurin da função
é:
Passo 5
Como estamos lidando com um polinômio de grau 3, não há termos de ordem superior, e a série termina aqui. Além disso, polinômios são funções polinomiais que convergem para todo valor real de
, porque não há restrições de convergência como em séries infinitas.
Resposta
A série de Maclaurin para
é:
E o intervalo de convergência é
.
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Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
b)
b)
Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
e)
e)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
j)
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