II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar a série de Maclaurin e o raio de convergência da função . Para isso, vamos usar o que sabemos sobre as séries de Maclaurin de funções básicas e como elas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais centrados em . Ou seja, qualquer função pode ser escrita como:
onde são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que a série de Maclaurin para é:
Essa série converge quando .

Passo 4

No nosso caso, a função é . Podemos adaptar a série anterior substituindo por :
Aqui, o raio de convergência muda. Originalmente, era , agora temos , ou seja, .

Passo 5

Agora, vamos multiplicar essa série por para obter a série de Maclaurin de :

Passo 6

Podemos também reescrever o índice da soma para deixar a série com potências de começando de 3:
onde substituímos .

Passo 7

Quanto ao raio de convergência, multiplicar a série original por não altera o intervalo de convergência. Então, o raio continua sendo .

Resposta

A série de Maclaurin de é:
E o raio de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados

Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
b)
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
b)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
j)
Se o limite for uma forma indeterminada, calcule-o usando a regra de La) (vale 1,5 ponto)