II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar a série de Maclaurin e o raio de convergência da função
. Para isso, vamos usar o que sabemos sobre as séries de Maclaurin de funções básicas e como elas se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais centrados em
. Ou seja, qualquer função pode ser escrita como:
onde
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que a série de Maclaurin para
é:
Essa série converge quando
.
Passo 4
No nosso caso, a função é
. Podemos adaptar a série anterior substituindo
por
:
Aqui, o raio de convergência muda. Originalmente, era
, agora temos
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, vamos multiplicar essa série por
para obter a série de Maclaurin de
:
Passo 6
Podemos também reescrever o índice da soma para deixar a série com potências de
começando de 3:
onde substituímos
.
Passo 7
Quanto ao raio de convergência, multiplicar a série original por
não altera o intervalo de convergência. Então, o raio continua sendo
.
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
E o raio de convergência dessa série é
.
Exercícios relacionados
Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
b)
b)
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
b)
b)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
j)
j)
Se o limite for uma forma indeterminada, calcule-o usando a regra de La) (vale 1,5 ponto)