Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x) = x^4/4 - x^3/3 - x^2 + 5. y = sen(x^2) (2 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas. Vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está subindo ou descendo em cada ponto.
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora que temos a derivada , precisamos descobrir onde ela é positiva (função cresce) e onde é negativa (função decresce). Para isso, vamos resolver a equação para encontrar os pontos críticos.

Passo 4

Resolvendo :
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 5

Agora vamos analisar os sinais da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
  1. Intervalo :
    Escolha :
    Então, está decrescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    Escolha :
    Então, está crescendo nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    Escolha :
    Então, está decrescendo nesse intervalo.
  4. Intervalo :
    Escolha :
    Então, está crescendo nesse intervalo.

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e , e está decrescendo nos intervalos e .

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