Seja f(x) = x^m (x - 1)^n uma função definida no intervalo [0,1] ; m, n em Z. Prove que existe um único ponto que divide o intervalo [0,1] numa razão de m/n. ( 2 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a função definida no intervalo [0,1], onde e são números inteiros. O objetivo aqui é provar que existe um ponto único nesse intervalo que divide [0,1] na proporção . Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções contínuas e propriedades de proporção em intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dividir o intervalo [0,1] na razão . Isso quer dizer que precisamos encontrar um ponto em [0,1] tal que a razão entre e seja igual a . Em outras palavras:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Multiplicando ambos os lados por , temos:
Expandindo o lado direito:

Passo 4

Vamos juntar os termos com de um lado:
Fatorando :

Passo 5

Agora, isolamos :

Passo 6

Concluímos que o ponto divide o intervalo [0,1] na razão . Além disso, como a função é contínua e a proporção é única para valores positivos de e , esse ponto é único.

Resposta

O ponto que divide o intervalo [0,1] na razão é .

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