Seja
uma função definida no intervalo
. Prove que existe um único ponto que divide o intervalo
numa razão de
. ( 2 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a função
definida no intervalo [0,1], onde
e
são números inteiros. O objetivo aqui é provar que existe um ponto único nesse intervalo que divide [0,1] na proporção
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções contínuas e propriedades de proporção em intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dividir o intervalo [0,1] na razão
. Isso quer dizer que precisamos encontrar um ponto
em [0,1] tal que a razão entre
e
seja igual a
. Em outras palavras:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Expandindo o lado direito:
Passo 4
Vamos juntar os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Passo 6
Concluímos que o ponto
divide o intervalo [0,1] na razão
. Além disso, como a função é contínua e a proporção é única para valores positivos de
e
, esse ponto é único.
Resposta
O ponto que divide o intervalo [0,1] na razão
é
.