Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva
em um ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação dessas retas em qualquer ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente em um ponto toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva nesse local. Já a reta normal é perpendicular à reta tangente nesse mesmo ponto. Para achar essas inclinações, precisamos calcular a derivada da função
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
em relação a
:
Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da curva.
Passo 4
Agora, suponha que queremos encontrar as retas tangente e normal no ponto
. Primeiro, calculamos a inclinação da reta tangente nesse ponto substituindo
na derivada:
Passo 5
Com a inclinação da tangente, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula do ponto-inclinação:
Onde
é o valor da função no ponto
.
Passo 6
Para a reta normal, que é perpendicular à tangente, a inclinação
é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
E a equação da reta normal é:
Resposta
As equações das retas são:
Reta Tangente:
Reta Normal: