Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado. y = x^4 + 2 * e^x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva em um ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação dessas retas em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente em um ponto toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva nesse local. Já a reta normal é perpendicular à reta tangente nesse mesmo ponto. Para achar essas inclinações, precisamos calcular a derivada da função .

Passo 3

Vamos calcular a derivada em relação a :
Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 4

Agora, suponha que queremos encontrar as retas tangente e normal no ponto . Primeiro, calculamos a inclinação da reta tangente nesse ponto substituindo na derivada:

Passo 5

Com a inclinação da tangente, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula do ponto-inclinação:
Onde é o valor da função no ponto .

Passo 6

Para a reta normal, que é perpendicular à tangente, a inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
E a equação da reta normal é:

Resposta

As equações das retas são:
Reta Tangente:
Reta Normal:

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