Seja y = f(x) uma função derivável definida implicitamente pela equação x^2 + x*y + x*sen(y) = y*sen(x). Calcule y'.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que define de forma implícita: . Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para diferenciar equações onde está misturado com .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembrando que quando derivamos termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia, porque é uma função de .
A equação original é:
Derivando cada termo:
  • (usamos a regra do produto aqui)
  • (novamente, regra do produto e regra da cadeia)

Passo 3

Agora, vamos colocar tudo isso na equação derivada:
Nosso objetivo é isolar . Vamos rearranjar os termos que contêm para um lado e os demais termos para o outro lado:
Fatorando do lado esquerdo:

Passo 4

Para encontrar , basta dividir os dois lados da equação pelo coeficiente de :

Resposta

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