Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e esboce o gráfico da função
a seguir.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos os intervalos onde a função
está crescendo ou decrescendo e também para esboçarmos o gráfico dela. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir onde a função aumenta ou diminui.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função em cada ponto.
Passo 3
A função dada é
. Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos
, então a derivada é
.
Aqui,
e
. Vamos derivar cada parte:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, vamos analisar onde ela é positiva ou negativa para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
- Crescimento: Quando
- Decrescimento: Quando
Vamos resolver a inequação
:
Então, a função está crescendo no intervalo
.
Agora, para
:
Portanto, a função está decrescendo nos intervalos
e
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico da função, vamos considerar os seguintes pontos:
- Intervalos de crescimento:
- Intervalos de decrescimento:
e - Pontos críticos: onde a derivada é zero ou não existe. Neste caso,
e .
Além disso, observamos que quando
tende ao infinito,
tende a zero, indicando assíntotas horizontais.
Resposta
A função
está crescendo no intervalo
e está decrescendo nos intervalos
e
. O gráfico apresenta um máximo local em
e um mínimo local em
, com assíntotas horizontais conforme
tende a
.
Exercícios relacionados
Uma função
é definida por
. Sabendo que
, determine o valor de
.
Identifique o coeficiente angular e o coeficiente linear das seguintes retas: