Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e esboce o gráfico da função a seguir.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo e também para esboçarmos o gráfico dela. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir onde a função aumenta ou diminui.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função em cada ponto.

Passo 3

A função dada é . Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos , então a derivada é .
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos analisar onde ela é positiva ou negativa para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
  • Crescimento: Quando
  • Decrescimento: Quando
Vamos resolver a inequação :
Então, a função está crescendo no intervalo .
Agora, para :
Portanto, a função está decrescendo nos intervalos e .

Passo 5

Para esboçar o gráfico da função, vamos considerar os seguintes pontos:
  • Intervalos de crescimento:
  • Intervalos de decrescimento: e
  • Pontos críticos: onde a derivada é zero ou não existe. Neste caso, e .
Além disso, observamos que quando tende ao infinito, tende a zero, indicando assíntotas horizontais.

Resposta

A função está crescendo no intervalo e está decrescendo nos intervalos e . O gráfico apresenta um máximo local em e um mínimo local em , com assíntotas horizontais conforme tende a .

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