Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo
. Isso faz parte do estudo de Cálculo, especificamente sobre extremos de funções. A gente vai precisar descobrir onde a função atinge seus maiores e menores valores dentro desse intervalo. Para isso, vamos usar derivadas para encontrar os pontos críticos e depois comparar os valores da função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a encontrar onde a função está aumentando ou diminuindo, e onde tem possíveis máximos ou mínimos.
Usando a regra da cadeia para derivar:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Neste caso, a derivada existe para todo
, então vamos resolver
:
Isso acontece quando:
-
⟹ -
⟹ ⟹ ou
Mas como nosso intervalo é
, descartamos
pois não está dentro do intervalo. Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função
nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo, que são
e
.
Calculando:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, vamos comparar todos esses valores para ver qual é o maior e qual é o menor no nosso intervalo:
O maior valor é 27 e o menor é aproximadamente -1.
Resposta
O valor máximo absoluto de
no intervalo
é
e o valor mínimo absoluto é
.