Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado. f(x) = (x^2 - 1)^3, [-2, 1/2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no intervalo . Isso faz parte do estudo de Cálculo, especificamente sobre extremos de funções. A gente vai precisar descobrir onde a função atinge seus maiores e menores valores dentro desse intervalo. Para isso, vamos usar derivadas para encontrar os pontos críticos e depois comparar os valores da função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar onde a função está aumentando ou diminuindo, e onde tem possíveis máximos ou mínimos.
Usando a regra da cadeia para derivar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é zero ou não existe. Neste caso, a derivada existe para todo , então vamos resolver :
Isso acontece quando:
  1. ou
Mas como nosso intervalo é , descartamos pois não está dentro do intervalo. Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo, que são e .
Calculando:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, vamos comparar todos esses valores para ver qual é o maior e qual é o menor no nosso intervalo:
O maior valor é 27 e o menor é aproximadamente -1.

Resposta

O valor máximo absoluto de no intervalo é e o valor mínimo absoluto é .

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