Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das funções abaixo.
f(x) = x + 1/x

Passo 1

Nesta questão, precisamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos utilizar o conceito de derivadas do cálculo diferencial, que nos ajuda a entender como a função varia em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em relação a .
A função é:
A derivada de em relação a é 1, e a derivada de é .
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos analisar onde a derivada é positiva ou negativa, pois isso nos indica os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
Resolvemos a inequação para encontrar onde a função está crescendo, e para onde está decrescendo.
Primeiro, vamos resolver :
Os pontos críticos são onde o numerador é zero, ou seja, e , e onde a função não está definida, .

Passo 4

Vamos dividir a reta real nos intervalos determinados pelos pontos críticos: , , e .
Em cada intervalo, vamos determinar o sinal da derivada:
  1. Para :
    Vamos testar :
    Então, , a função está crescente.
  2. Para :
    Vamos testar :
    Então, , a função está decrescente.
  3. Para :
    Vamos testar :
    Então, , a função está decrescente.
  4. Para :
    Vamos testar :
    Então, , a função está crescente.

Resposta

A função está:
  • Crescente nos intervalos e .
  • Decrescente nos intervalos e .

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