Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das funções abaixo.
Passo 1
Nesta questão, precisamos determinar os intervalos onde a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos utilizar o conceito de derivadas do cálculo diferencial, que nos ajuda a entender como a função varia em diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em relação a
.
A função é:
A derivada de
em relação a
é 1, e a derivada de
é
.
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos analisar onde a derivada
é positiva ou negativa, pois isso nos indica os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
Resolvemos a inequação
para encontrar onde a função está crescendo, e
para onde está decrescendo.
Primeiro, vamos resolver
:
Os pontos críticos são onde o numerador é zero, ou seja,
e
, e onde a função não está definida,
.
Passo 4
Vamos dividir a reta real nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
,
,
e
.
Em cada intervalo, vamos determinar o sinal da derivada:
-
Para
: Vamos testar: Então,, a função está crescente. -
Para
: Vamos testar: Então,, a função está decrescente. -
Para
: Vamos testar: Então,, a função está decrescente. -
Para
: Vamos testar: Então,, a função está crescente.
Resposta
A função
está:
- Crescente nos intervalos
e . - Decrescente nos intervalos
e .
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