Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a identificar onde a função tem esses pontos especiais de subida ou descida.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função dada é
. Sabemos que a raiz cúbica de uma expressão pode ser reescrita como uma potência fracionária. Então, podemos reescrever:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos calcular a derivada da função
em relação a
e encontrar onde essa derivada é igual a zero ou não está definida. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto.
Passo 4
Vamos derivar
usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta, a derivada é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.
Então, aplicando a regra:
Passo 5
Simplificando a derivada:
Podemos fatorar o numerador:
Aqui, percebemos que a derivada não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando
ou
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero. Para isso, igualamos o numerador a zero:
Isso nos dá as soluções:
Passo 7
Então, temos três pontos críticos para analisar:
,
e
. Vamos verificar o comportamento da função nesses pontos para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 8
Analisando
:
Neste ponto, a derivada não está definida e observando a função original
, vemos que
.
Analisando o comportamento próximo a esse ponto, percebemos que a função muda sua inclinação, indicando um ponto de inflexão.
Passo 9
Analisando
:
Calculamos
.
Como a derivada muda de positiva para negativa nesse ponto,
é um ponto de máximo local.
Passo 10
Analisando
:
Aqui, novamente, a derivada não está definida. Calculando
.
Observando o comportamento próximo a
, vemos que a função passa de crescente para decrescente, indicando um ponto de inflexão.
Resposta
A função
tem um ponto de máximo local em
com valor
. Não possui pontos de mínimo local.
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Página 163,
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
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Mostre que a função
não é derivável em
. Esboce o gráfico de
e justifique se
é contínua em
.