Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.
f(x) = raiz cúbica(x^3 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a identificar onde a função tem esses pontos especiais de subida ou descida.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função dada é . Sabemos que a raiz cúbica de uma expressão pode ser reescrita como uma potência fracionária. Então, podemos reescrever:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos calcular a derivada da função em relação a e encontrar onde essa derivada é igual a zero ou não está definida. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto.

Passo 4

Vamos derivar usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta, a derivada é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.
Então, aplicando a regra:

Passo 5

Simplificando a derivada:
Podemos fatorar o numerador:
Aqui, percebemos que a derivada não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando ou .

Passo 6

Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero. Para isso, igualamos o numerador a zero:
Isso nos dá as soluções:

Passo 7

Então, temos três pontos críticos para analisar: , e . Vamos verificar o comportamento da função nesses pontos para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 8

Analisando :
Neste ponto, a derivada não está definida e observando a função original , vemos que .
Analisando o comportamento próximo a esse ponto, percebemos que a função muda sua inclinação, indicando um ponto de inflexão.

Passo 9

Analisando :
Calculamos .
Como a derivada muda de positiva para negativa nesse ponto, é um ponto de máximo local.

Passo 10

Analisando :
Aqui, novamente, a derivada não está definida. Calculando .
Observando o comportamento próximo a , vemos que a função passa de crescente para decrescente, indicando um ponto de inflexão.

Resposta

A função tem um ponto de máximo local em com valor . Não possui pontos de mínimo local.

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g(x) = { 2x + 1, se x < 1; -x + 4, se x ≥ 1 }
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