Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, para analisar como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a derivada de
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, indicando se está subindo ou descendo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Aqui, usamos as regras básicas de derivação.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar onde a derivada é igual a zero ou não existe, pois esses pontos podem indicar mudanças no comportamento da função (máximos, mínimos ou pontos de inflexão).
Passo 5
Temos então um ponto crítico em
. Agora, vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados por esse ponto para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
Passo 6
Escolhemos valores de teste em cada intervalo:
- Para
, por exemplo, :
Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
- Para
, por exemplo, :
Então, a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 7
Além disso, precisamos considerar o domínio da função
. Como há um termo
,
não pode ser zero. Assim, o domínio é
.
Passo 8
Resumindo:
- Para
, a função está decrescendo. - Para
, a função está crescendo.
Resposta
A função
está decrescendo no intervalo
e crescendo no intervalo
.