Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(d) f(x) = x^2 + 1/x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, para analisar como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a derivada de . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, indicando se está subindo ou descendo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Aqui, usamos as regras básicas de derivação.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar onde a derivada é igual a zero ou não existe, pois esses pontos podem indicar mudanças no comportamento da função (máximos, mínimos ou pontos de inflexão).

Passo 5

Temos então um ponto crítico em . Agora, vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados por esse ponto para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.

Passo 6

Escolhemos valores de teste em cada intervalo:
  • Para , por exemplo, :
Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  • Para , por exemplo, :
Então, a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 7

Além disso, precisamos considerar o domínio da função . Como há um termo , não pode ser zero. Assim, o domínio é .

Passo 8

Resumindo:
  • Para , a função está decrescendo.
  • Para , a função está crescendo.

Resposta

A função está decrescendo no intervalo e crescendo no intervalo .

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