Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os intervalos onde a função
está crescendo ou decrescendo. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função
e analisar onde ela é positiva (crescendo) ou negativa (decrescendo).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. Quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções, usamos a Regra do Quociente para derivar. A Regra do Quociente diz que se
, então:
Nesse caso, temos:
Vamos encontrar as derivadas de
e
:
Passo 3
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, expandimos os termos:
Subtraindo os dois resultados:
Então, a derivada fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar onde
é positiva ou negativa. Como o denominador
é sempre positivo (porque é um quadrado), o sinal de
depende apenas do numerador
.
Vamos resolver a inequação:
Primeiro, reescrevemos a expressão em ordem decrescente:
Vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes
e
, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos para saber onde a derivada é positiva ou negativa.
Os intervalos são:
Vamos testar um valor em cada intervalo na expressão
:
- Para
, por exemplo, :
Então,
nesse intervalo (crescendo).
- Para
, por exemplo, :
Então,
nesse intervalo (decrescendo).
- Para
, por exemplo, :
Então,
nesse intervalo (crescendo).
Resposta
A função
está:
- Crescente nos intervalos
e . - Decrescente no intervalo
.