Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(a) f(x) = (x^2 - x) / (1 + 3 x^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (crescendo) ou negativa (decrescendo).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . Quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções, usamos a Regra do Quociente para derivar. A Regra do Quociente diz que se , então:
Nesse caso, temos:
Vamos encontrar as derivadas de e :

Passo 3

Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, expandimos os termos:
Subtraindo os dois resultados:
Então, a derivada fica:

Passo 4

Agora, precisamos determinar onde é positiva ou negativa. Como o denominador é sempre positivo (porque é um quadrado), o sinal de depende apenas do numerador .
Vamos resolver a inequação:
Primeiro, reescrevemos a expressão em ordem decrescente:
Vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
onde , , e .
Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes e , vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos para saber onde a derivada é positiva ou negativa.
Os intervalos são:
Vamos testar um valor em cada intervalo na expressão :
  1. Para , por exemplo, :
Então, nesse intervalo (crescendo).
  1. Para , por exemplo, :
Então, nesse intervalo (decrescendo).
  1. Para , por exemplo, :
Então, nesse intervalo (crescendo).

Resposta

A função está:
  • Crescente nos intervalos e .
  • Decrescente no intervalo .

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