Seja f(t) a quantidade de indivíduos de uma dada população no instante t. Suponha que esta população esteja crescendo e que sua derivada satisfaça f'(t) = r f(t) - k f(t)^2. Determine quando esta população para de crescer.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir quando uma população deixa de crescer. A gente está trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas. A equação que descreve o crescimento da população é . Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas funcionam e como elas nos mostram o comportamento da população ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, para saber quando a população para de crescer, a gente precisa encontrar o ponto em que a taxa de crescimento ( ) é igual a zero. Isso significa que a população não está aumentando nem diminuindo naquele instante.

Passo 3

Então, vamos igualar a derivada a zero e resolver para :

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para . Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções:
  1. =>

Passo 5

A solução representa a população zerando, o que não é o caso aqui porque sabemos que a população está crescendo. Então, a solução relevante é .

Resposta

A população para de crescer quando a quantidade de indivíduos é igual a . Portanto, .

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