Seja
a quantidade de indivíduos de uma dada população no instante
. Suponha que esta população esteja crescendo e que sua derivada satisfaça
. Determine quando esta população para de crescer.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir quando uma população deixa de crescer. A gente está trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas. A equação que descreve o crescimento da população é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas funcionam e como elas nos mostram o comportamento da população ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, para saber quando a população para de crescer, a gente precisa encontrar o ponto em que a taxa de crescimento (
) é igual a zero. Isso significa que a população não está aumentando nem diminuindo naquele instante.
Passo 3
Então, vamos igualar a derivada a zero e resolver para
:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
. Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
-
-
=>
Passo 5
A solução
representa a população zerando, o que não é o caso aqui porque sabemos que a população está crescendo. Então, a solução relevante é
.
Resposta
A população para de crescer quando a quantidade de indivíduos é igual a
. Portanto,
.