Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções
g(u) = ln(u) / u

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas e análise de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar os sinais dessa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . Lembra que, para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos , então a derivada é:
Aplicando isso em , temos:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos analisar onde ela é positiva ou negativa. Lembrando que o denominador é sempre positivo para , então o sinal da derivada depende apenas do numerador .

Passo 4

Vamos resolver a inequação para encontrar onde a derivada é positiva:
E para :

Passo 5

Então, resumindo:
  • Para , , ou seja, a função está crescendo.
  • Para , , ou seja, a função está decrescendo.

Resposta

A função está crescendo no intervalo e decrescendo no intervalo .

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