Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai determinar os intervalos onde a função
está crescendo ou decrescendo. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas e análise de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar os sinais dessa derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. Lembra que, para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos
, então a derivada é:
Aplicando isso em
, temos:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos analisar onde ela é positiva ou negativa. Lembrando que o denominador
é sempre positivo para
, então o sinal da derivada depende apenas do numerador
.
Passo 4
Vamos resolver a inequação
para encontrar onde a derivada é positiva:
E para
:
Passo 5
Então, resumindo:
- Para
, , ou seja, a função está crescendo. - Para
, , ou seja, a função está decrescendo.
Resposta
A função
está crescendo no intervalo
e decrescendo no intervalo
.